Issolvi {l}{x+y=27}{7x-3y=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 27 } \\ { 7 x - 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=9$$

$$y=18$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+y=27,7x-3y=9$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+y=27$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-y+27$$

Issostitwixxi -y+27 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 7x-3y=9.

$$7\left(-y+27\right)-3y=9$$

Immultiplika 7 b'-y+27.

$$-7y+189-3y=9$$

Żid -7y ma' -3y.

$$-10y+189=9$$

Naqqas 189 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-10y=-180$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-10.

$$y=18$$

Issostitwixxi 18 għal y f'x=-y+27. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-18+27$$

Żid 27 ma' -18.

$$x=9$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=9,y=18$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+y=27,7x-3y=9$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\7&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-7}&-\frac{1}{-3-7}\\-\frac{7}{-3-7}&\frac{1}{-3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\\frac{7}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 27+\frac{1}{10}\times 9\\\frac{7}{10}\times 27-\frac{1}{10}\times 9\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\18\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=9,y=18$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+y=27,7x-3y=9$$

Biex tagħmel x u 7x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'7 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$7x+7y=7\times 27,7x-3y=9$$

Issimplifika.

$$7x+7y=189,7x-3y=9$$

Naqqas 7x-3y=9 minn 7x+7y=189 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$7x-7x+7y+3y=189-9$$

Żid 7x ma' -7x. 7x u -7x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$7y+3y=189-9$$

Żid 7y ma' 3y.

$$10y=189-9$$

Żid 189 ma' -9.

$$10y=180$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'10.

$$y=18$$

Issostitwixxi 18 għal y f'7x-3y=9. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$7x-3\times 18=9$$

Immultiplika -3 b'18.

$$7x-54=9$$

Żid 54 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7x=63$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$x=9$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=9,y=18$$