Issolvi {l}{x+y=12}{2x+3y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 12 } \\ { 2 x + 3 y = 11 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=25$$

$$y=-13$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+y=12,2x+3y=11$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+y=12$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-y+12$$

Issostitwixxi -y+12 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+3y=11.

$$2\left(-y+12\right)+3y=11$$

Immultiplika 2 b'-y+12.

$$-2y+24+3y=11$$

Żid -2y ma' 3y.

$$y+24=11$$

Naqqas 24 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-13$$

Issostitwixxi -13 għal y f'x=-y+12. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\left(-13\right)+12$$

Immultiplika -1 b'-13.

$$x=13+12$$

Żid 12 ma' 13.

$$x=25$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=25,y=-13$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+y=12,2x+3y=11$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{1}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 12-11\\-2\times 12+11\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\-13\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=25,y=-13$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+y=12,2x+3y=11$$

Biex tagħmel x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$2x+2y=2\times 12,2x+3y=11$$

Issimplifika.

$$2x+2y=24,2x+3y=11$$

Naqqas 2x+3y=11 minn 2x+2y=24 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2x-2x+2y-3y=24-11$$

Żid 2x ma' -2x. 2x u -2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2y-3y=24-11$$

Żid 2y ma' -3y.

$$-y=24-11$$

Żid 24 ma' -11.

$$-y=13$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=-13$$

Issostitwixxi -13 għal y f'2x+3y=11. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x+3\left(-13\right)=11$$

Immultiplika 3 b'-13.

$$2x-39=11$$

Żid 39 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=50$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=25$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=25,y=-13$$