Issolvi {l}{ty+2=x}{x^2+4y^2=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { t y + 2 = x } \\ { x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } = 4 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=2\text{, }y=0$$

$$x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni u l-Formula Kwadratika

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$ty+2-x=0$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$ty-x=-2$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$ty-x=-2,x^{2}+4y^{2}=4$$

Solvi ty-x=-2 għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal equals.

$$ty-x=-2$$

Naqqas -x miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$ty=x-2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b't.

$$y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}$$

Issostitwixxi \frac{1}{t}x-\frac{2}{t} għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, x^{2}+4y^{2}=4.

$$x^{2}+4\left(\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

Ikkwadra \frac{1}{t}x-\frac{2}{t}.

$$x^{2}+4\left(\left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}\right)=4$$

Immultiplika 4 b'\left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}.

$$x^{2}+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

Żid x^{2} ma' 4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}.

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}-4=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2} għal a, 4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right) għal b, u \frac{16}{t^{2}}-4 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\left(8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}\right)^{2}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

Ikkwadra 4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right).

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

Immultiplika -4 b'1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+\left(-4-\frac{16}{t^{2}}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

Immultiplika -4-\frac{16}{t^{2}} b'\frac{16}{t^{2}}-4.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+16-\frac{256}{t^{4}}}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

Żid \frac{256}{t^{4}} ma' -\frac{256}{t^{4}}+16.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{16}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' 16.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±4}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

Immultiplika 2 b'1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}.

$$x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} fejn ± hija plus. Żid \frac{16}{t^{2}} ma' 4.

$$x=\frac{4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

Iddividi 4+\frac{16}{t^{2}} b'2+\frac{8}{t^{2}}.

$$x=2$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} fejn ± hija minus. Naqqas 4 minn \frac{16}{t^{2}}.

$$x=\frac{-4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

Iddividi \frac{16}{t^{2}}-4 b'2+\frac{8}{t^{2}}.

$$x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

Hemm żewġ soluzzjonijiet għal x: 2 u -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}}. Issostitwixxi 2 għal x fl-ekwazzjoni y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} biex issib is-soluzzjoni korrispondenti għal y li tissodisfa ż-żewġ ekwazzjonijiet.

$$y=\frac{1}{t}\times 2-\frac{2}{t}$$

Immultiplika \frac{1}{t} b'2.

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

Issa ssostitwixxi -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}} ma' x fl-ekwazzjoni y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} u solvi biex issib is-soluzzjoni korrispondenti għal y li tissodisfa ż-żewġ ekwazzjonijiet.

$$y=\frac{1}{t}\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)-\frac{2}{t}$$

Immultiplika \frac{1}{t} b'-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}}.

$$y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=2\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

Solvi għal x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2\text{, }y=0\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}\text{, }&t\neq -2i\text{ and }t\neq 2i\end{matrix}\right.$$