Issolvi {l}{rx-ry=1}{rx-9y=r}

$$\left\{ \begin{array} { l } { r x - r y = 1 } \\ { r x - 9 y = r } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}$$

$$y=-\frac{1-r}{r-9}$$

$$r\neq 9\text{ and }r\neq 0$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$rx+\left(-r\right)y=1$$

Żid ry maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$rx=ry+1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'r.

$$x=\frac{1}{r}\left(ry+1\right)$$

Immultiplika \frac{1}{r} b'ry+1.

$$x=y+\frac{1}{r}$$

Issostitwixxi y+\frac{1}{r} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, rx-9y=r.

$$r\left(y+\frac{1}{r}\right)-9y=r$$

Immultiplika r b'y+\frac{1}{r}.

$$ry+1-9y=r$$

Żid ry ma' -9y.

$$\left(r-9\right)y+1=r$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(r-9\right)y=r-1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'r-9.

$$y=\frac{r-1}{r-9}$$

Issostitwixxi \frac{r-1}{r-9} għal y f'x=y+\frac{1}{r}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{r-1}{r-9}+\frac{1}{r}$$

Żid \frac{1}{r} ma' \frac{r-1}{r-9}.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)},y=\frac{r-1}{r-9}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}&-\frac{-r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}\\-\frac{r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}&\frac{r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(r-9\right)}&\frac{1}{r-9}\\-\frac{1}{r-9}&\frac{1}{r-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(r-9\right)}+\frac{1}{r-9}r\\-\frac{1}{r-9}+\frac{1}{r-9}r\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}\\\frac{r-1}{r-9}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)},y=\frac{r-1}{r-9}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

Naqqas rx-9y=r minn rx+\left(-r\right)y=1 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$rx+\left(-r\right)x+\left(-r\right)y+9y=1-r$$

Żid rx ma' -rx. rx u -rx jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$\left(-r\right)y+9y=1-r$$

Żid -ry ma' 9y.

$$\left(9-r\right)y=1-r$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-r+9.

$$y=\frac{1-r}{9-r}$$

Issostitwixxi \frac{1-r}{-r+9} għal y f'rx-9y=r. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$rx-9\times \frac{1-r}{9-r}=r$$

Immultiplika -9 b'\frac{1-r}{-r+9}.

$$rx-\frac{9\left(1-r\right)}{9-r}=r$$

Żid \frac{9\left(1-r\right)}{-r+9} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$rx=-\frac{\left(r-3\right)\left(r+3\right)}{9-r}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'r.

$$x=-\frac{r^{2}-9}{r\left(9-r\right)}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{r^{2}-9}{r\left(9-r\right)},y=\frac{1-r}{9-r}$$