Issolvi {l}{kx+9y=18}{4x-5y=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { kx + 9 y = 18 } \\ { 4 x - 5 y = 20 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{270}{5k+36}$$

$$y=-\frac{4\left(5k-18\right)}{5k+36}$$

$$k\neq -\frac{36}{5}$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$kx+9y=18,4x-5y=20$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$kx+9y=18$$

Naqqas 9y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$kx=-9y+18$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'k.

$$x=\frac{1}{k}\left(-9y+18\right)$$

Immultiplika \frac{1}{k} b'-9y+18.

$$x=\left(-\frac{9}{k}\right)y+\frac{18}{k}$$

Issostitwixxi \frac{9\left(2-y\right)}{k} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 4x-5y=20.

$$4\left(\left(-\frac{9}{k}\right)y+\frac{18}{k}\right)-5y=20$$

Immultiplika 4 b'\frac{9\left(2-y\right)}{k}.

$$\left(-\frac{36}{k}\right)y+\frac{72}{k}-5y=20$$

Żid -\frac{36y}{k} ma' -5y.

$$\left(-5-\frac{36}{k}\right)y+\frac{72}{k}=20$$

Naqqas \frac{72}{k} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(-5-\frac{36}{k}\right)y=20-\frac{72}{k}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-\frac{36}{k}-5.

$$y=-\frac{4\left(5k-18\right)}{5k+36}$$

Issostitwixxi -\frac{4\left(-18+5k\right)}{36+5k} għal y f'x=\left(-\frac{9}{k}\right)y+\frac{18}{k}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\left(-\frac{9}{k}\right)\left(-\frac{4\left(5k-18\right)}{5k+36}\right)+\frac{18}{k}$$

Immultiplika -\frac{9}{k} b'-\frac{4\left(-18+5k\right)}{36+5k}.

$$x=\frac{36\left(5k-18\right)}{k\left(5k+36\right)}+\frac{18}{k}$$

Żid \frac{18}{k} ma' \frac{36\left(-18+5k\right)}{k\left(36+5k\right)}.

$$x=\frac{270}{5k+36}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{270}{5k+36},y=-\frac{4\left(5k-18\right)}{5k+36}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$kx+9y=18,4x-5y=20$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{k\left(-5\right)-9\times 4}&-\frac{9}{k\left(-5\right)-9\times 4}\\-\frac{4}{k\left(-5\right)-9\times 4}&\frac{k}{k\left(-5\right)-9\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5k+36}&\frac{9}{5k+36}\\\frac{4}{5k+36}&-\frac{k}{5k+36}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5k+36}\times 18+\frac{9}{5k+36}\times 20\\\frac{4}{5k+36}\times 18+\left(-\frac{k}{5k+36}\right)\times 20\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{270}{5k+36}\\\frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{270}{5k+36},y=\frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$kx+9y=18,4x-5y=20$$

Biex tagħmel kx u 4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'k.

$$4kx+4\times 9y=4\times 18,k\times 4x+k\left(-5\right)y=k\times 20$$

Issimplifika.

$$4kx+36y=72,4kx+\left(-5k\right)y=20k$$

Naqqas 4kx+\left(-5k\right)y=20k minn 4kx+36y=72 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$4kx+\left(-4k\right)x+36y+5ky=72-20k$$

Żid 4kx ma' -4kx. 4kx u -4kx jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$36y+5ky=72-20k$$

Żid 36y ma' 5ky.

$$\left(5k+36\right)y=72-20k$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'36+5k.

$$y=\frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}$$

Issostitwixxi \frac{4\left(18-5k\right)}{36+5k} għal y f'4x-5y=20. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$4x-5\times \frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}=20$$

Immultiplika -5 b'\frac{4\left(18-5k\right)}{36+5k}.

$$4x-\frac{20\left(18-5k\right)}{5k+36}=20$$

Żid \frac{20\left(18-5k\right)}{36+5k} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=\frac{1080}{5k+36}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{270}{5k+36}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{270}{5k+36},y=\frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}$$