Issolvi {l}{8x+3y=25}{2x+3y=13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 3 y = 25 } \\ { 2 x + 3 y = 13 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$8x+3y=25,2x+3y=13$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$8x+3y=25$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$8x=-3y+25$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-3y+25\right)$$

Immultiplika \frac{1}{8} b'-3y+25.

$$x=-\frac{3}{8}y+\frac{25}{8}$$

Issostitwixxi \frac{-3y+25}{8} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+3y=13.

$$2\left(-\frac{3}{8}y+\frac{25}{8}\right)+3y=13$$

Immultiplika 2 b'\frac{-3y+25}{8}.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}+3y=13$$

Żid -\frac{3y}{4} ma' 3y.

$$\frac{9}{4}y+\frac{25}{4}=13$$

Naqqas \frac{25}{4} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{9}{4}y=\frac{27}{4}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{9}{4}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=3$$

Issostitwixxi 3 għal y f'x=-\frac{3}{8}y+\frac{25}{8}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{8}\times 3+\frac{25}{8}$$

Immultiplika -\frac{3}{8} b'3.

$$x=\frac{-9+25}{8}$$

Żid \frac{25}{8} ma' -\frac{9}{8} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$8x+3y=25,2x+3y=13$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-3\times 2}&-\frac{3}{8\times 3-3\times 2}\\-\frac{2}{8\times 3-3\times 2}&\frac{8}{8\times 3-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{9}&\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 25-\frac{1}{6}\times 13\\-\frac{1}{9}\times 25+\frac{4}{9}\times 13\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=2,y=3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$8x+3y=25,2x+3y=13$$

Naqqas 2x+3y=13 minn 8x+3y=25 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$8x-2x+3y-3y=25-13$$

Żid 3y ma' -3y. 3y u -3y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$8x-2x=25-13$$

Żid 8x ma' -2x.

$$6x=25-13$$

Żid 25 ma' -13.

$$6x=12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=2$$

Issostitwixxi 2 għal x f'2x+3y=13. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$2\times 2+3y=13$$

Immultiplika 2 b'2.

$$4+3y=13$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3y=9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$y=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=3$$