Issolvi {l}{78x+40y=1280}{120x+80y=2800}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 78 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 80 y = 2800 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = -\frac{20}{3} = -6\frac{2}{3} \approx -6.666666667$$

$$y=45$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$78x+40y=1280$$

Naqqas 40y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$78x=-40y+1280$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'78.

$$x=\frac{1}{78}\left(-40y+1280\right)$$

Immultiplika \frac{1}{78} b'-40y+1280.

$$x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}$$

Issostitwixxi \frac{-20y+640}{39} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 120x+80y=2800.

$$120\left(-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}\right)+80y=2800$$

Immultiplika 120 b'\frac{-20y+640}{39}.

$$-\frac{800}{13}y+\frac{25600}{13}+80y=2800$$

Żid -\frac{800y}{13} ma' 80y.

$$\frac{240}{13}y+\frac{25600}{13}=2800$$

Naqqas \frac{25600}{13} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{240}{13}y=\frac{10800}{13}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{240}{13}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=45$$

Issostitwixxi 45 għal y f'x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{20}{39}\times 45+\frac{640}{39}$$

Immultiplika -\frac{20}{39} b'45.

$$x=-\frac{300}{13}+\frac{640}{39}$$

Żid \frac{640}{39} ma' -\frac{300}{13} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-\frac{20}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{78\times 80-40\times 120}&-\frac{40}{78\times 80-40\times 120}\\-\frac{120}{78\times 80-40\times 120}&\frac{78}{78\times 80-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}&-\frac{1}{36}\\-\frac{1}{12}&\frac{13}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}\times 1280-\frac{1}{36}\times 2800\\-\frac{1}{12}\times 1280+\frac{13}{240}\times 2800\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}\\45\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

Biex tagħmel 78x u 120x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'120 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'78.

$$120\times 78x+120\times 40y=120\times 1280,78\times 120x+78\times 80y=78\times 2800$$

Issimplifika.

$$9360x+4800y=153600,9360x+6240y=218400$$

Naqqas 9360x+6240y=218400 minn 9360x+4800y=153600 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$9360x-9360x+4800y-6240y=153600-218400$$

Żid 9360x ma' -9360x. 9360x u -9360x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$4800y-6240y=153600-218400$$

Żid 4800y ma' -6240y.

$$-1440y=153600-218400$$

Żid 153600 ma' -218400.

$$-1440y=-64800$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1440.

$$y=45$$

Issostitwixxi 45 għal y f'120x+80y=2800. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$120x+80\times 45=2800$$

Immultiplika 80 b'45.

$$120x+3600=2800$$

Naqqas 3600 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$120x=-800$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'120.

$$x=-\frac{20}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$