Issolvi {l}{5x-2y=4}{x/2+y/3=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 4 } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x-2y=4,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x-2y=4$$

Żid 2y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=2y+4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+4\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'4+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}$$

Issostitwixxi \frac{4+2y}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2.

$$\frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}\right)+\frac{1}{3}y=2$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'\frac{4+2y}{5}.

$$\frac{1}{5}y+\frac{2}{5}+\frac{1}{3}y=2$$

Żid \frac{y}{5} ma' \frac{y}{3}.

$$\frac{8}{15}y+\frac{2}{5}=2$$

Naqqas \frac{2}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{8}{15}y=\frac{8}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{8}{15}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=3$$

Issostitwixxi 3 għal y f'x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{2}{5}\times 3+\frac{4}{5}$$

Immultiplika \frac{2}{5} b'3.

$$x=\frac{6+4}{5}$$

Żid \frac{4}{5} ma' \frac{6}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x-2y=4,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{5\times \frac{1}{3}-\left(-2\times \frac{1}{2}\right)}&-\frac{-2}{5\times \frac{1}{3}-\left(-2\times \frac{1}{2}\right)}\\-\frac{\frac{1}{2}}{5\times \frac{1}{3}-\left(-2\times \frac{1}{2}\right)}&\frac{5}{5\times \frac{1}{3}-\left(-2\times \frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{4}\\-\frac{3}{16}&\frac{15}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 4+\frac{3}{4}\times 2\\-\frac{3}{16}\times 4+\frac{15}{8}\times 2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=2,y=3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x-2y=4,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2$$

Biex tagħmel 5x u \frac{x}{2} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'\frac{1}{2} u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$\frac{1}{2}\times 5x+\frac{1}{2}\left(-2\right)y=\frac{1}{2}\times 4,5\times \frac{1}{2}x+5\times \frac{1}{3}y=5\times 2$$

Issimplifika.

$$\frac{5}{2}x-y=2,\frac{5}{2}x+\frac{5}{3}y=10$$

Naqqas \frac{5}{2}x+\frac{5}{3}y=10 minn \frac{5}{2}x-y=2 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$\frac{5}{2}x-\frac{5}{2}x-y-\frac{5}{3}y=2-10$$

Żid \frac{5x}{2} ma' -\frac{5x}{2}. \frac{5x}{2} u -\frac{5x}{2} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-y-\frac{5}{3}y=2-10$$

Żid -y ma' -\frac{5y}{3}.

$$-\frac{8}{3}y=2-10$$

Żid 2 ma' -10.

$$-\frac{8}{3}y=-8$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{8}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=3$$

Issostitwixxi 3 għal y f'\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\times 3=2$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'3.

$$\frac{1}{2}x+1=2$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{1}{2}x=1$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'2.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=3$$