Issolvi {l}{4x-8y+7=1}{4x+8y+9=79}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 8 y + 7 = 1 } \\ { 4 x + 8 y + 9 = 79 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=8$$

$$y = \frac{19}{4} = 4\frac{3}{4} = 4.75$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x-8y+7=1,4x+8y+9=79$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x-8y+7=1$$

Naqqas 7 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x-8y=-6$$

Żid 8y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=8y-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(8y-6\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'8y-6.

$$x=2y-\frac{3}{2}$$

Issostitwixxi 2y-\frac{3}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 4x+8y+9=79.

$$4\left(2y-\frac{3}{2}\right)+8y+9=79$$

Immultiplika 4 b'2y-\frac{3}{2}.

$$8y-6+8y+9=79$$

Żid 8y ma' 8y.

$$16y-6+9=79$$

Żid -6 ma' 9.

$$16y+3=79$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$16y=76$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'16.

$$y=\frac{19}{4}$$

Issostitwixxi \frac{19}{4} għal y f'x=2y-\frac{3}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=2\times \frac{19}{4}-\frac{3}{2}$$

Immultiplika 2 b'\frac{19}{4}.

$$x=\frac{19-3}{2}$$

Żid -\frac{3}{2} ma' \frac{19}{2} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=8$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=8,y=\frac{19}{4}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x-8y+7=1,4x+8y+9=79$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&-8\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\70\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&-8\\4&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-8\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-8\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-8\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\70\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-8\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\70\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-8\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\70\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{4\times 8-\left(-8\times 4\right)}&-\frac{-8}{4\times 8-\left(-8\times 4\right)}\\-\frac{4}{4\times 8-\left(-8\times 4\right)}&\frac{4}{4\times 8-\left(-8\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\70\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{16}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\70\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\left(-6\right)+\frac{1}{8}\times 70\\-\frac{1}{16}\left(-6\right)+\frac{1}{16}\times 70\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\\frac{19}{4}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=8,y=\frac{19}{4}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x-8y+7=1,4x+8y+9=79$$

Naqqas 4x+8y+9=79 minn 4x-8y+7=1 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$4x-4x-8y-8y+7-9=1-79$$

Żid 4x ma' -4x. 4x u -4x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-8y-8y+7-9=1-79$$

Żid -8y ma' -8y.

$$-16y+7-9=1-79$$

Żid 7 ma' -9.

$$-16y-2=1-79$$

Żid 1 ma' -79.

$$-16y-2=-78$$

Żid 2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-16y=-76$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-16.

$$y=\frac{19}{4}$$

Issostitwixxi \frac{19}{4} għal y f'4x+8y+9=79. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$4x+8\times \frac{19}{4}+9=79$$

Immultiplika 8 b'\frac{19}{4}.

$$4x+38+9=79$$

Żid 38 ma' 9.

$$4x+47=79$$

Naqqas 47 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=32$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=8$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=8,y=\frac{19}{4}$$