Issolvi {l}{4x-2y-6=0}{4(8+x)+2(20y)-26=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 2 y - 6 = 0 } \\ { 4 ( 8 + x ) + 2 ( 20 y ) - 26 = 0 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{19}{14} = 1\frac{5}{14} \approx 1.357142857$$

$$y=-\frac{2}{7}\approx -0.285714286$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x-2y-6=0,4\left(x+8\right)+40y-26=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x-2y-6=0$$

Żid 6 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x-2y=6$$

Żid 2y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=2y+6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+6\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'6+2y.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Issostitwixxi \frac{3+y}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 4\left(x+8\right)+40y-26=0.

$$4\left(\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+8\right)+40y-26=0$$

Żid \frac{3}{2} ma' 8.

$$4\left(\frac{1}{2}y+\frac{19}{2}\right)+40y-26=0$$

Immultiplika 4 b'\frac{19+y}{2}.

$$2y+38+40y-26=0$$

Żid 2y ma' 40y.

$$42y+38-26=0$$

Żid 38 ma' -26.

$$42y+12=0$$

Naqqas 12 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$42y=-12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'42.

$$y=-\frac{2}{7}$$

Issostitwixxi -\frac{2}{7} għal y f'x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{2}{7}\right)+\frac{3}{2}$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-\frac{2}{7} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{1}{7}+\frac{3}{2}$$

Żid \frac{3}{2} ma' -\frac{1}{7} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{19}{14}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{19}{14},y=-\frac{2}{7}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x-2y-6=0,4\left(x+8\right)+40y-26=0$$

Issimplifika t-tieni ekwazzjoni biex tqiegħda fil-forma standard.

$$4\left(x+8\right)+40y-26=0$$

Immultiplika 4 b'x+8.

$$4x+32+40y-26=0$$

Żid 32 ma' -26.

$$4x+40y+6=0$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x+40y=-6$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\4&40\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&-2\\4&40\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\4&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\4&40\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\4&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-6\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\4&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\4&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-6\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{4\times 40-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{4\times 40-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{4\times 40-\left(-2\times 4\right)}&\frac{4}{4\times 40-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&\frac{1}{84}\\-\frac{1}{42}&\frac{1}{42}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\times 6+\frac{1}{84}\left(-6\right)\\-\frac{1}{42}\times 6+\frac{1}{42}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{14}\\-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{19}{14},y=-\frac{2}{7}$$