Issolvi {l}{4x-2y-2=0}{3x+2y-1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 2 y - 2 = 0 } \\ { 3 x + 2 y - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{3}{7}\approx 0.428571429$$

$$y=-\frac{1}{7}\approx -0.142857143$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x-2y-2=0,3x+2y-1=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x-2y-2=0$$

Żid 2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x-2y=2$$

Żid 2y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=2y+2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+2\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'2+2y.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Issostitwixxi \frac{1+y}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+2y-1=0.

$$3\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+2y-1=0$$

Immultiplika 3 b'\frac{1+y}{2}.

$$\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}+2y-1=0$$

Żid \frac{3y}{2} ma' 2y.

$$\frac{7}{2}y+\frac{3}{2}-1=0$$

Żid \frac{3}{2} ma' -1.

$$\frac{7}{2}y+\frac{1}{2}=0$$

Naqqas \frac{1}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{7}{2}y=-\frac{1}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{7}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{1}{7}$$

Issostitwixxi -\frac{1}{7} għal y f'x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{7}\right)+\frac{1}{2}$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-\frac{1}{7} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{1}{14}+\frac{1}{2}$$

Żid \frac{1}{2} ma' -\frac{1}{14} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{3}{7}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{3}{7},y=-\frac{1}{7}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x-2y-2=0,3x+2y-1=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&-2\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\times 2-\left(-2\times 3\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{14}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 2+\frac{1}{7}\\-\frac{3}{14}\times 2+\frac{2}{7}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{3}{7},y=-\frac{1}{7}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x-2y-2=0,3x+2y-1=0$$

Biex tagħmel 4x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$3\times 4x+3\left(-2\right)y+3\left(-2\right)=0,4\times 3x+4\times 2y+4\left(-1\right)=0$$

Issimplifika.

$$12x-6y-6=0,12x+8y-4=0$$

Naqqas 12x+8y-4=0 minn 12x-6y-6=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$12x-12x-6y-8y-6+4=0$$

Żid 12x ma' -12x. 12x u -12x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-6y-8y-6+4=0$$

Żid -6y ma' -8y.

$$-14y-6+4=0$$

Żid -6 ma' 4.

$$-14y-2=0$$

Żid 2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-14y=2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-14.

$$y=-\frac{1}{7}$$

Issostitwixxi -\frac{1}{7} għal y f'3x+2y-1=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x+2\left(-\frac{1}{7}\right)-1=0$$

Immultiplika 2 b'-\frac{1}{7}.

$$3x-\frac{2}{7}-1=0$$

Żid -\frac{2}{7} ma' -1.

$$3x-\frac{9}{7}=0$$

Żid \frac{9}{7} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=\frac{9}{7}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{3}{7}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{3}{7},y=-\frac{1}{7}$$