Issolvi {l}{4x-2y=8}{5x+3y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 8 } \\ { 5 x + 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1$$

$$y=-2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x-2y=8,5x+3y=-1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x-2y=8$$

Żid 2y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=2y+8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+8\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'8+2y.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

Issostitwixxi \frac{y}{2}+2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5x+3y=-1.

$$5\left(\frac{1}{2}y+2\right)+3y=-1$$

Immultiplika 5 b'\frac{y}{2}+2.

$$\frac{5}{2}y+10+3y=-1$$

Żid \frac{5y}{2} ma' 3y.

$$\frac{11}{2}y+10=-1$$

Naqqas 10 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{11}{2}y=-11$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{11}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'x=\frac{1}{2}y+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2\right)+2$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-2.

$$x=-1+2$$

Żid 2 ma' -1.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x-2y=8,5x+3y=-1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{4\times 3-\left(-2\times 5\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{1}{11}\\-\frac{5}{22}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 8+\frac{1}{11}\left(-1\right)\\-\frac{5}{22}\times 8+\frac{2}{11}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x-2y=8,5x+3y=-1$$

Biex tagħmel 4x u 5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$5\times 4x+5\left(-2\right)y=5\times 8,4\times 5x+4\times 3y=4\left(-1\right)$$

Issimplifika.

$$20x-10y=40,20x+12y=-4$$

Naqqas 20x+12y=-4 minn 20x-10y=40 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$20x-20x-10y-12y=40+4$$

Żid 20x ma' -20x. 20x u -20x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-10y-12y=40+4$$

Żid -10y ma' -12y.

$$-22y=40+4$$

Żid 40 ma' 4.

$$-22y=44$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-22.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'5x+3y=-1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5x+3\left(-2\right)=-1$$

Immultiplika 3 b'-2.

$$5x-6=-1$$

Żid 6 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=-2$$