Issolvi {l}{4x+2y=25,2}{5y+x=32}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 25,2 } \\ { 5 y + x = 32 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{31}{9} = 3\frac{4}{9} \approx 3.444444444$$

$$y = \frac{257}{45} = 5\frac{32}{45} \approx 5.711111111$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x+2y=25.2,x+5y=32$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x+2y=25.2$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-2y+25.2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+25.2\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-2y+25.2.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}$$

Issostitwixxi -\frac{y}{2}+\frac{63}{10} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+5y=32.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}+5y=32$$

Żid -\frac{y}{2} ma' 5y.

$$\frac{9}{2}y+\frac{63}{10}=32$$

Naqqas \frac{63}{10} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{9}{2}y=\frac{257}{10}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{9}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{257}{45}$$

Issostitwixxi \frac{257}{45} għal y f'x=-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{257}{45}+\frac{63}{10}$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'\frac{257}{45} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{257}{90}+\frac{63}{10}$$

Żid \frac{63}{10} ma' -\frac{257}{90} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{31}{9}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{31}{9},y=\frac{257}{45}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x+2y=25.2,x+5y=32$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-2}&-\frac{2}{4\times 5-2}\\-\frac{1}{4\times 5-2}&\frac{4}{4\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}&-\frac{1}{9}\\-\frac{1}{18}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}\times 25.2-\frac{1}{9}\times 32\\-\frac{1}{18}\times 25.2+\frac{2}{9}\times 32\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{9}\\\frac{257}{45}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{31}{9},y=\frac{257}{45}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x+2y=25.2,x+5y=32$$

Biex tagħmel 4x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$4x+2y=25.2,4x+4\times 5y=4\times 32$$

Issimplifika.

$$4x+2y=25.2,4x+20y=128$$

Naqqas 4x+20y=128 minn 4x+2y=25.2 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$4x-4x+2y-20y=25.2-128$$

Żid 4x ma' -4x. 4x u -4x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2y-20y=25.2-128$$

Żid 2y ma' -20y.

$$-18y=25.2-128$$

Żid 25.2 ma' -128.

$$-18y=-102.8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-18.

$$y=\frac{257}{45}$$

Issostitwixxi \frac{257}{45} għal y f'x+5y=32. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x+5\times \frac{257}{45}=32$$

Immultiplika 5 b'\frac{257}{45}.

$$x+\frac{257}{9}=32$$

Naqqas \frac{257}{9} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=\frac{31}{9}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{31}{9},y=\frac{257}{45}$$