Issolvi {l}{3x-5y=6}{6x+7y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 6 } \\ { 6 x + 7 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=-1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x-5y=6,6x+7y=-5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x-5y=6$$

Żid 5y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=5y+6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+6\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'5y+6.

$$x=\frac{5}{3}y+2$$

Issostitwixxi \frac{5y}{3}+2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 6x+7y=-5.

$$6\left(\frac{5}{3}y+2\right)+7y=-5$$

Immultiplika 6 b'\frac{5y}{3}+2.

$$10y+12+7y=-5$$

Żid 10y ma' 7y.

$$17y+12=-5$$

Naqqas 12 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$17y=-17$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'17.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'x=\frac{5}{3}y+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{5}{3}\left(-1\right)+2$$

Immultiplika \frac{5}{3} b'-1.

$$x=-\frac{5}{3}+2$$

Żid 2 ma' -\frac{5}{3}.

$$x=\frac{1}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{1}{3},y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x-5y=6,6x+7y=-5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{3\times 7-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{3\times 7-\left(-5\times 6\right)}&\frac{3}{3\times 7-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{51}&\frac{5}{51}\\-\frac{2}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{51}\times 6+\frac{5}{51}\left(-5\right)\\-\frac{2}{17}\times 6+\frac{1}{17}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{1}{3},y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x-5y=6,6x+7y=-5$$

Biex tagħmel 3x u 6x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'6 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$6\times 3x+6\left(-5\right)y=6\times 6,3\times 6x+3\times 7y=3\left(-5\right)$$

Issimplifika.

$$18x-30y=36,18x+21y=-15$$

Naqqas 18x+21y=-15 minn 18x-30y=36 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$18x-18x-30y-21y=36+15$$

Żid 18x ma' -18x. 18x u -18x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-30y-21y=36+15$$

Żid -30y ma' -21y.

$$-51y=36+15$$

Żid 36 ma' 15.

$$-51y=51$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-51.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'6x+7y=-5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$6x+7\left(-1\right)=-5$$

Immultiplika 7 b'-1.

$$6x-7=-5$$

Żid 7 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=\frac{1}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{1}{3},y=-1$$