Issolvi {l}{3x-4y=-17}{6x+y=-16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = - 17 } \\ { 6 x + y = - 16 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x-4y=-17,6x+y=-16$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x-4y=-17$$

Żid 4y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=4y-17$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y-17\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'4y-17.

$$x=\frac{4}{3}y-\frac{17}{3}$$

Issostitwixxi \frac{4y-17}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 6x+y=-16.

$$6\left(\frac{4}{3}y-\frac{17}{3}\right)+y=-16$$

Immultiplika 6 b'\frac{4y-17}{3}.

$$8y-34+y=-16$$

Żid 8y ma' y.

$$9y-34=-16$$

Żid 34 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$9y=18$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'9.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'x=\frac{4}{3}y-\frac{17}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{4}{3}\times 2-\frac{17}{3}$$

Immultiplika \frac{4}{3} b'2.

$$x=\frac{8-17}{3}$$

Żid -\frac{17}{3} ma' \frac{8}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-3,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x-4y=-17,6x+y=-16$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\-16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&-4\\6&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\-16\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\-16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\-16\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{-4}{3-\left(-4\times 6\right)}\\-\frac{6}{3-\left(-4\times 6\right)}&\frac{3}{3-\left(-4\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\-16\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}&\frac{4}{27}\\-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\-16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\left(-17\right)+\frac{4}{27}\left(-16\right)\\-\frac{2}{9}\left(-17\right)+\frac{1}{9}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-3,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x-4y=-17,6x+y=-16$$

Biex tagħmel 3x u 6x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'6 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$6\times 3x+6\left(-4\right)y=6\left(-17\right),3\times 6x+3y=3\left(-16\right)$$

Issimplifika.

$$18x-24y=-102,18x+3y=-48$$

Naqqas 18x+3y=-48 minn 18x-24y=-102 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$18x-18x-24y-3y=-102+48$$

Żid 18x ma' -18x. 18x u -18x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-24y-3y=-102+48$$

Żid -24y ma' -3y.

$$-27y=-102+48$$

Żid -102 ma' 48.

$$-27y=-54$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-27.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'6x+y=-16. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$6x+2=-16$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=-18$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=-3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-3,y=2$$