Issolvi {l}{3x+y=5}{x+2/5+y/2=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 5 } \\ { \frac { x + 2 } { 5 } + \frac { y } { 2 } = - 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=3$$

$$y=-4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+y=5,\frac{1}{5}\left(x+2\right)+\frac{1}{2}y=-1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+y=5$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-y+5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-y+5.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-y+5}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, \frac{1}{5}\left(x+2\right)+\frac{1}{2}y=-1.

$$\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}+2\right)+\frac{1}{2}y=-1$$

Żid \frac{5}{3} ma' 2.

$$\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}\right)+\frac{1}{2}y=-1$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'\frac{-y+11}{3}.

$$-\frac{1}{15}y+\frac{11}{15}+\frac{1}{2}y=-1$$

Żid -\frac{y}{15} ma' \frac{y}{2}.

$$\frac{13}{30}y+\frac{11}{15}=-1$$

Naqqas \frac{11}{15} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{13}{30}y=-\frac{26}{15}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{13}{30}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-4$$

Issostitwixxi -4 għal y f'x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{5}{3}$$

Immultiplika -\frac{1}{3} b'-4.

$$x=\frac{4+5}{3}$$

Żid \frac{5}{3} ma' \frac{4}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=-4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+y=5,\frac{1}{5}\left(x+2\right)+\frac{1}{2}y=-1$$

Issimplifika t-tieni ekwazzjoni biex tqiegħda fil-forma standard.

$$\frac{1}{5}\left(x+2\right)+\frac{1}{2}y=-1$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'x+2.

$$\frac{1}{5}x+\frac{2}{5}+\frac{1}{2}y=-1$$

Naqqas \frac{2}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{1}{5}x+\frac{1}{2}y=-\frac{7}{5}$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{3\times \frac{1}{2}-\frac{1}{5}}&-\frac{1}{3\times \frac{1}{2}-\frac{1}{5}}\\-\frac{\frac{1}{5}}{3\times \frac{1}{2}-\frac{1}{5}}&\frac{3}{3\times \frac{1}{2}-\frac{1}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&-\frac{10}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{30}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\times 5-\frac{10}{13}\left(-\frac{7}{5}\right)\\-\frac{2}{13}\times 5+\frac{30}{13}\left(-\frac{7}{5}\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=3,y=-4$$