Issolvi {l}{3x+y=2}{3x-2y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 2 } \\ { 3 x - 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+y=2,3x-2y=5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+y=2$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-y+2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+2\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-y+2.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-y+2}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x-2y=5.

$$3\left(-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)-2y=5$$

Immultiplika 3 b'\frac{-y+2}{3}.

$$-y+2-2y=5$$

Żid -y ma' -2y.

$$-3y+2=5$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-3y=3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{2}{3}$$

Immultiplika -\frac{1}{3} b'-1.

$$x=\frac{1+2}{3}$$

Żid \frac{2}{3} ma' \frac{1}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+y=2,3x-2y=5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&1\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-3}&-\frac{1}{3\left(-2\right)-3}\\-\frac{3}{3\left(-2\right)-3}&\frac{3}{3\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 2+\frac{1}{9}\times 5\\\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}\times 5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+y=2,3x-2y=5$$

Naqqas 3x-2y=5 minn 3x+y=2 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$3x-3x+y+2y=2-5$$

Żid 3x ma' -3x. 3x u -3x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$y+2y=2-5$$

Żid y ma' 2y.

$$3y=2-5$$

Żid 2 ma' -5.

$$3y=-3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'3x-2y=5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x-2\left(-1\right)=5$$

Immultiplika -2 b'-1.

$$3x+2=5$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=-1$$