Issolvi {l}{3x+y=-1}{x+5y=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = - 1 } \\ { x + 5 y = 9 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-1$$

$$y=2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+y=-1,x+5y=9$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+y=-1$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-y-1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y-1\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-y-1.

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-y-1}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+5y=9.

$$-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}+5y=9$$

Żid -\frac{y}{3} ma' 5y.

$$\frac{14}{3}y-\frac{1}{3}=9$$

Żid \frac{1}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{14}{3}y=\frac{28}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{14}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'x=-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

Immultiplika -\frac{1}{3} b'2.

$$x=\frac{-2-1}{3}$$

Żid -\frac{1}{3} ma' -\frac{2}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-1,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+y=-1,x+5y=9$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&1\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-1}&-\frac{1}{3\times 5-1}\\-\frac{1}{3\times 5-1}&\frac{3}{3\times 5-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}\left(-1\right)-\frac{1}{14}\times 9\\-\frac{1}{14}\left(-1\right)+\frac{3}{14}\times 9\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-1,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+y=-1,x+5y=9$$

Biex tagħmel 3x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$3x+y=-1,3x+3\times 5y=3\times 9$$

Issimplifika.

$$3x+y=-1,3x+15y=27$$

Naqqas 3x+15y=27 minn 3x+y=-1 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$3x-3x+y-15y=-1-27$$

Żid 3x ma' -3x. 3x u -3x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$y-15y=-1-27$$

Żid y ma' -15y.

$$-14y=-1-27$$

Żid -1 ma' -27.

$$-14y=-28$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-14.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'x+5y=9. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x+5\times 2=9$$

Immultiplika 5 b'2.

$$x+10=9$$

Naqqas 10 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-1,y=2$$