Issolvi {l}{3(x-1)-4(y-4)=0}{5(y-1)=3(x+5)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x - 1 ) - 4 ( y - 4 ) = 0 } \\ { 5 ( y - 1 ) = 3 ( x + 5 ) } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=5$$

$$y=7$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x-1.

$$3x-3-4\left(y-4\right)=0$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -4 b'y-4.

$$3x-3-4y+16=0$$

Żid -3 u 16 biex tikseb 13.

$$3x+13-4y=0$$

Naqqas 13 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$3x-4y=-13$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 5 b'y-1.

$$5y-5=3\left(x+5\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+5.

$$5y-5=3x+15$$

Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$5y-5-3x=15$$

Żid 5 maż-żewġ naħat.

$$5y-3x=15+5$$

Żid 15 u 5 biex tikseb 20.

$$5y-3x=20$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x-4y=-13,-3x+5y=20$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x-4y=-13$$

Żid 4y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=4y-13$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y-13\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'4y-13.

$$x=\frac{4}{3}y-\frac{13}{3}$$

Issostitwixxi \frac{4y-13}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -3x+5y=20.

$$-3\left(\frac{4}{3}y-\frac{13}{3}\right)+5y=20$$

Immultiplika -3 b'\frac{4y-13}{3}.

$$-4y+13+5y=20$$

Żid -4y ma' 5y.

$$y+13=20$$

Naqqas 13 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=7$$

Issostitwixxi 7 għal y f'x=\frac{4}{3}y-\frac{13}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{4}{3}\times 7-\frac{13}{3}$$

Immultiplika \frac{4}{3} b'7.

$$x=\frac{28-13}{3}$$

Żid -\frac{13}{3} ma' \frac{28}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=7$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x-1.

$$3x-3-4\left(y-4\right)=0$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -4 b'y-4.

$$3x-3-4y+16=0$$

Żid -3 u 16 biex tikseb 13.

$$3x+13-4y=0$$

Naqqas 13 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$3x-4y=-13$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 5 b'y-1.

$$5y-5=3\left(x+5\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+5.

$$5y-5=3x+15$$

Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$5y-5-3x=15$$

Żid 5 maż-żewġ naħat.

$$5y-3x=15+5$$

Żid 15 u 5 biex tikseb 20.

$$5y-3x=20$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x-4y=-13,-3x+5y=20$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&-4\\-3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\20\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\20\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-4\left(-3\right)\right)}&-\frac{-4}{3\times 5-\left(-4\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3\times 5-\left(-4\left(-3\right)\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-4\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\20\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}&\frac{4}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\left(-13\right)+\frac{4}{3}\times 20\\-13+20\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=5,y=7$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x-1.

$$3x-3-4\left(y-4\right)=0$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -4 b'y-4.

$$3x-3-4y+16=0$$

Żid -3 u 16 biex tikseb 13.

$$3x+13-4y=0$$

Naqqas 13 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$3x-4y=-13$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 5 b'y-1.

$$5y-5=3\left(x+5\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+5.

$$5y-5=3x+15$$

Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$5y-5-3x=15$$

Żid 5 maż-żewġ naħat.

$$5y-3x=15+5$$

Żid 15 u 5 biex tikseb 20.

$$5y-3x=20$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x-4y=-13,-3x+5y=20$$

Biex tagħmel 3x u -3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$-3\times 3x-3\left(-4\right)y=-3\left(-13\right),3\left(-3\right)x+3\times 5y=3\times 20$$

Issimplifika.

$$-9x+12y=39,-9x+15y=60$$

Naqqas -9x+15y=60 minn -9x+12y=39 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-9x+9x+12y-15y=39-60$$

Żid -9x ma' 9x. -9x u 9x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$12y-15y=39-60$$

Żid 12y ma' -15y.

$$-3y=39-60$$

Żid 39 ma' -60.

$$-3y=-21$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$y=7$$

Issostitwixxi 7 għal y f'-3x+5y=20. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-3x+5\times 7=20$$

Immultiplika 5 b'7.

$$-3x+35=20$$

Naqqas 35 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-3x=-15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=7$$