Issolvi {l}{3(x-1)=y+5}{5(y-1)=3(x+1)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x - 1 ) = y + 5 } \\ { 5 ( y - 1 ) = 3 ( x + 1 ) } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=4$$

$$y=4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x-1.

$$3x-3=y+5$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$3x-3-y=5$$

Żid 3 maż-żewġ naħat.

$$3x-y=5+3$$

Żid 5 u 3 biex tikseb 8.

$$3x-y=8$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 5 b'y-1.

$$5y-5=3\left(x+1\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+1.

$$5y-5=3x+3$$

Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$5y-5-3x=3$$

Żid 5 maż-żewġ naħat.

$$5y-3x=3+5$$

Żid 3 u 5 biex tikseb 8.

$$5y-3x=8$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x-y=8,-3x+5y=8$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x-y=8$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=y+8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+8\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'y+8.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}$$

Issostitwixxi \frac{8+y}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -3x+5y=8.

$$-3\left(\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}\right)+5y=8$$

Immultiplika -3 b'\frac{8+y}{3}.

$$-y-8+5y=8$$

Żid -y ma' 5y.

$$4y-8=8$$

Żid 8 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4y=16$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{3}\times 4+\frac{8}{3}$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'4.

$$x=\frac{4+8}{3}$$

Żid \frac{8}{3} ma' \frac{4}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x-1.

$$3x-3=y+5$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$3x-3-y=5$$

Żid 3 maż-żewġ naħat.

$$3x-y=5+3$$

Żid 5 u 3 biex tikseb 8.

$$3x-y=8$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 5 b'y-1.

$$5y-5=3\left(x+1\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+1.

$$5y-5=3x+3$$

Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$5y-5-3x=3$$

Żid 5 maż-żewġ naħat.

$$5y-3x=3+5$$

Żid 3 u 5 biex tikseb 8.

$$5y-3x=8$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x-y=8,-3x+5y=8$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&-1\\-3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{3\times 5-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3\times 5-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 8+\frac{1}{12}\times 8\\\frac{1}{4}\times 8+\frac{1}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=4,y=4$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x-1.

$$3x-3=y+5$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$3x-3-y=5$$

Żid 3 maż-żewġ naħat.

$$3x-y=5+3$$

Żid 5 u 3 biex tikseb 8.

$$3x-y=8$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 5 b'y-1.

$$5y-5=3\left(x+1\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+1.

$$5y-5=3x+3$$

Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$5y-5-3x=3$$

Żid 5 maż-żewġ naħat.

$$5y-3x=3+5$$

Żid 3 u 5 biex tikseb 8.

$$5y-3x=8$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x-y=8,-3x+5y=8$$

Biex tagħmel 3x u -3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$-3\times 3x-3\left(-1\right)y=-3\times 8,3\left(-3\right)x+3\times 5y=3\times 8$$

Issimplifika.

$$-9x+3y=-24,-9x+15y=24$$

Naqqas -9x+15y=24 minn -9x+3y=-24 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-9x+9x+3y-15y=-24-24$$

Żid -9x ma' 9x. -9x u 9x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$3y-15y=-24-24$$

Żid 3y ma' -15y.

$$-12y=-24-24$$

Żid -24 ma' -24.

$$-12y=-48$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-12.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'-3x+5y=8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-3x+5\times 4=8$$

Immultiplika 5 b'4.

$$-3x+20=8$$

Naqqas 20 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-3x=-12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=4$$