Issolvi {l}{23x+6y=47}{27x+y=30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 23 x + 6 y = 47 } \\ { 27 x + y = 30 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{133}{139}\approx 0.956834532$$

$$y = \frac{579}{139} = 4\frac{23}{139} \approx 4.165467626$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$23x+6y=47,27x+y=30$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$23x+6y=47$$

Naqqas 6y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$23x=-6y+47$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'23.

$$x=\frac{1}{23}\left(-6y+47\right)$$

Immultiplika \frac{1}{23} b'-6y+47.

$$x=-\frac{6}{23}y+\frac{47}{23}$$

Issostitwixxi \frac{-6y+47}{23} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 27x+y=30.

$$27\left(-\frac{6}{23}y+\frac{47}{23}\right)+y=30$$

Immultiplika 27 b'\frac{-6y+47}{23}.

$$-\frac{162}{23}y+\frac{1269}{23}+y=30$$

Żid -\frac{162y}{23} ma' y.

$$-\frac{139}{23}y+\frac{1269}{23}=30$$

Naqqas \frac{1269}{23} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{139}{23}y=-\frac{579}{23}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{139}{23}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{579}{139}$$

Issostitwixxi \frac{579}{139} għal y f'x=-\frac{6}{23}y+\frac{47}{23}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{6}{23}\times \frac{579}{139}+\frac{47}{23}$$

Immultiplika -\frac{6}{23} b'\frac{579}{139} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{3474}{3197}+\frac{47}{23}$$

Żid \frac{47}{23} ma' -\frac{3474}{3197} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{133}{139}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{133}{139},y=\frac{579}{139}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$23x+6y=47,27x+y=30$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}23&6\\27&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}47\\30\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}23&6\\27&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}23&6\\27&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23&6\\27&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&6\\27&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}47\\30\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&6\\27&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}47\\30\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&6\\27&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}47\\30\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23-6\times 27}&-\frac{6}{23-6\times 27}\\-\frac{27}{23-6\times 27}&\frac{23}{23-6\times 27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}47\\30\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{139}&\frac{6}{139}\\\frac{27}{139}&-\frac{23}{139}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}47\\30\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{139}\times 47+\frac{6}{139}\times 30\\\frac{27}{139}\times 47-\frac{23}{139}\times 30\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{133}{139}\\\frac{579}{139}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{133}{139},y=\frac{579}{139}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$23x+6y=47,27x+y=30$$

Biex tagħmel 23x u 27x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'27 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'23.

$$27\times 23x+27\times 6y=27\times 47,23\times 27x+23y=23\times 30$$

Issimplifika.

$$621x+162y=1269,621x+23y=690$$

Naqqas 621x+23y=690 minn 621x+162y=1269 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$621x-621x+162y-23y=1269-690$$

Żid 621x ma' -621x. 621x u -621x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$162y-23y=1269-690$$

Żid 162y ma' -23y.

$$139y=1269-690$$

Żid 1269 ma' -690.

$$139y=579$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'139.

$$y=\frac{579}{139}$$

Issostitwixxi \frac{579}{139} għal y f'27x+y=30. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$27x+\frac{579}{139}=30$$

Naqqas \frac{579}{139} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$27x=\frac{3591}{139}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'27.

$$x=\frac{133}{139}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{133}{139},y=\frac{579}{139}$$