Issolvi {l}{2.5x+3y=1}{-2.5x+2y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2.5 x + 3 y = 1 } \\ { - 2.5 x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-0.8$$

$$y=1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2.5x+3y=1,-2.5x+2y=4$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2.5x+3y=1$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2.5x=-3y+1$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2.5, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=0.4\left(-3y+1\right)$$

Immultiplika 0.4 b'-3y+1.

$$x=-1.2y+0.4$$

Issostitwixxi \frac{-6y+2}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -2.5x+2y=4.

$$-2.5\left(-1.2y+0.4\right)+2y=4$$

Immultiplika -2.5 b'\frac{-6y+2}{5}.

$$3y-1+2y=4$$

Żid 3y ma' 2y.

$$5y-1=4$$

Żid 1 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5y=5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'x=-1.2y+0.4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{-6+2}{5}$$

Żid 0.4 ma' -1.2 biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-0.8$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-0.8,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2.5x+3y=1,-2.5x+2y=4$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2.5&3\\-2.5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2.5&3\\-2.5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2.5&3\\-2.5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.5&3\\-2.5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&3\\-2.5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&3\\-2.5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&3\\-2.5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2.5\times 2-3\left(-2.5\right)}&-\frac{3}{2.5\times 2-3\left(-2.5\right)}\\-\frac{-2.5}{2.5\times 2-3\left(-2.5\right)}&\frac{2.5}{2.5\times 2-3\left(-2.5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.16&-0.24\\0.2&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.16-0.24\times 4\\0.2+0.2\times 4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8\\1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-0.8,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2.5x+3y=1,-2.5x+2y=4$$

Biex tagħmel \frac{5x}{2} u -\frac{5x}{2} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-2.5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.5.

$$-2.5\times 2.5x-2.5\times 3y=-2.5,2.5\left(-2.5\right)x+2.5\times 2y=2.5\times 4$$

Issimplifika.

$$-6.25x-7.5y=-2.5,-6.25x+5y=10$$

Naqqas -6.25x+5y=10 minn -6.25x-7.5y=-2.5 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-6.25x+6.25x-7.5y-5y=-2.5-10$$

Żid -\frac{25x}{4} ma' \frac{25x}{4}. -\frac{25x}{4} u \frac{25x}{4} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-7.5y-5y=-2.5-10$$

Żid -\frac{15y}{2} ma' -5y.

$$-12.5y=-2.5-10$$

Żid -2.5 ma' -10.

$$-12.5y=-12.5$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-12.5, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'-2.5x+2y=4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-2.5x+2=4$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2.5x=2$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-2.5, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=-0.8$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-0.8,y=1$$