Issolvi {l}{2x-3y-6=0}{2x+y+2=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 6 = 0 } \\ { 2 x + y + 2 = 0 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=0$$

$$y=-2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x-3y-6=0,2x+y+2=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x-3y-6=0$$

Żid 6 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x-3y=6$$

Żid 3y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=3y+6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+6\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'6+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+3$$

Issostitwixxi \frac{3y}{2}+3 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+y+2=0.

$$2\left(\frac{3}{2}y+3\right)+y+2=0$$

Immultiplika 2 b'\frac{3y}{2}+3.

$$3y+6+y+2=0$$

Żid 3y ma' y.

$$4y+6+2=0$$

Żid 6 ma' 2.

$$4y+8=0$$

Naqqas 8 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4y=-8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'x=\frac{3}{2}y+3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{3}{2}\left(-2\right)+3$$

Immultiplika \frac{3}{2} b'-2.

$$x=-3+3$$

Żid 3 ma' -3.

$$x=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=0,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x-3y-6=0,2x+y+2=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{2-\left(-3\times 2\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 6+\frac{3}{8}\left(-2\right)\\-\frac{1}{4}\times 6+\frac{1}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=0,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x-3y-6=0,2x+y+2=0$$

Naqqas 2x+y+2=0 minn 2x-3y-6=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2x-2x-3y-y-6-2=0$$

Żid 2x ma' -2x. 2x u -2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-3y-y-6-2=0$$

Żid -3y ma' -y.

$$-4y-6-2=0$$

Żid -6 ma' -2.

$$-4y-8=0$$

Żid 8 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-4y=8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'2x+y+2=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x-2+2=0$$

Żid -2 ma' 2.

$$2x=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=0,y=-2$$