Issolvi {l}{2p+3x=10}{p-x+2=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 p + 3 x = 10 } \\ { p - x + 2 = 0 } \end{array} \right.$$

Solvi għal p, x

$$x = \frac{14}{5} = 2\frac{4}{5} = 2.8$$

$$p=\frac{4}{5}=0.8$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal p billi tiżola p fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2p+3x=10$$

Naqqas 3x miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2p=-3x+10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$p=\frac{1}{2}\left(-3x+10\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-3x+10.

$$p=-\frac{3}{2}x+5$$

Issostitwixxi -\frac{3x}{2}+5 għal p fl-ekwazzjoni l-oħra, p-x+2=0.

$$-\frac{3}{2}x+5-x+2=0$$

Żid -\frac{3x}{2} ma' -x.

$$-\frac{5}{2}x+5+2=0$$

Żid 5 ma' 2.

$$-\frac{5}{2}x+7=0$$

Naqqas 7 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{5}{2}x=-7$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{5}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=\frac{14}{5}$$

Issostitwixxi \frac{14}{5} għal x f'p=-\frac{3}{2}x+5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal p direttament.

$$p=-\frac{3}{2}\times \frac{14}{5}+5$$

Immultiplika -\frac{3}{2} b'\frac{14}{5} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$p=-\frac{21}{5}+5$$

Żid 5 ma' -\frac{21}{5}.

$$p=\frac{4}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 10+\frac{3}{5}\left(-2\right)\\\frac{1}{5}\times 10-\frac{2}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\\frac{14}{5}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi p u x.

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

Biex tagħmel 2p u p ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$2p+3x=10,2p+2\left(-1\right)x+2\times 2=0$$

Issimplifika.

$$2p+3x=10,2p-2x+4=0$$

Naqqas 2p-2x+4=0 minn 2p+3x=10 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2p-2p+3x+2x-4=10$$

Żid 2p ma' -2p. 2p u -2p jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$3x+2x-4=10$$

Żid 3x ma' 2x.

$$5x-4=10$$

Żid 4 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=14$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{14}{5}$$

Issostitwixxi \frac{14}{5} għal x f'p-x+2=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal p direttament.

$$p-\frac{14}{5}+2=0$$

Żid -\frac{14}{5} ma' 2.

$$p-\frac{4}{5}=0$$

Żid \frac{4}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$p=\frac{4}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$