Issolvi {l}{2(x+y)-3(x-y)=4}{5(x+y)-7(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 4 } \\ { 5 ( x + y ) - 7 ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-19$$

$$y=-3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -3 b'x-y.

$$2x+2y-3x+3y=4$$

Ikkombina 2x u -3x biex tikseb -x.

$$-x+2y+3y=4$$

Ikkombina 2y u 3y biex tikseb 5y.

$$-x+5y=4$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 5 b'x+y.

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -7 b'x-y.

$$5x+5y-7x+7y=2$$

Ikkombina 5x u -7x biex tikseb -2x.

$$-2x+5y+7y=2$$

Ikkombina 5y u 7y biex tikseb 12y.

$$-2x+12y=2$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-x+5y=4$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=-5y+4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=-\left(-5y+4\right)$$

Immultiplika -1 b'-5y+4.

$$x=5y-4$$

Issostitwixxi 5y-4 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -2x+12y=2.

$$-2\left(5y-4\right)+12y=2$$

Immultiplika -2 b'5y-4.

$$-10y+8+12y=2$$

Żid -10y ma' 12y.

$$2y+8=2$$

Naqqas 8 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2y=-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=-3$$

Issostitwixxi -3 għal y f'x=5y-4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=5\left(-3\right)-4$$

Immultiplika 5 b'-3.

$$x=-15-4$$

Żid -4 ma' -15.

$$x=-19$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-19,y=-3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -3 b'x-y.

$$2x+2y-3x+3y=4$$

Ikkombina 2x u -3x biex tikseb -x.

$$-x+2y+3y=4$$

Ikkombina 2y u 3y biex tikseb 5y.

$$-x+5y=4$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 5 b'x+y.

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -7 b'x-y.

$$5x+5y-7x+7y=2$$

Ikkombina 5x u -7x biex tikseb -2x.

$$-2x+5y+7y=2$$

Ikkombina 5y u 7y biex tikseb 12y.

$$-2x+12y=2$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{-12-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-12-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-12-5\left(-2\right)}&-\frac{1}{-12-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6&\frac{5}{2}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\times 4+\frac{5}{2}\times 2\\-4+\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\-3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-19,y=-3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -3 b'x-y.

$$2x+2y-3x+3y=4$$

Ikkombina 2x u -3x biex tikseb -x.

$$-x+2y+3y=4$$

Ikkombina 2y u 3y biex tikseb 5y.

$$-x+5y=4$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 5 b'x+y.

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -7 b'x-y.

$$5x+5y-7x+7y=2$$

Ikkombina 5x u -7x biex tikseb -2x.

$$-2x+5y+7y=2$$

Ikkombina 5y u 7y biex tikseb 12y.

$$-2x+12y=2$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

Biex tagħmel -x u -2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-1.

$$-2\left(-1\right)x-2\times 5y=-2\times 4,-\left(-2\right)x-12y=-2$$

Issimplifika.

$$2x-10y=-8,2x-12y=-2$$

Naqqas 2x-12y=-2 minn 2x-10y=-8 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2x-2x-10y+12y=-8+2$$

Żid 2x ma' -2x. 2x u -2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-10y+12y=-8+2$$

Żid -10y ma' 12y.

$$2y=-8+2$$

Żid -8 ma' 2.

$$2y=-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=-3$$

Issostitwixxi -3 għal y f'-2x+12y=2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-2x+12\left(-3\right)=2$$

Immultiplika 12 b'-3.

$$-2x-36=2$$

Żid 36 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2x=38$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=-19$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-19,y=-3$$