Issolvi {l}{-7x-4y=62}{3x+y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 7 x - 4 y = 62 } \\ { 3 x + y = - 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{54}{5} = 10\frac{4}{5} = 10.8$$

$$y = -\frac{172}{5} = -34\frac{2}{5} = -34.4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-7x-4y=62$$

Żid 4y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-7x=4y+62$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(4y+62\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{7} b'4y+62.

$$x=-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7}$$

Issostitwixxi \frac{-4y-62}{7} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+y=-2.

$$3\left(-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7}\right)+y=-2$$

Immultiplika 3 b'\frac{-4y-62}{7}.

$$-\frac{12}{7}y-\frac{186}{7}+y=-2$$

Żid -\frac{12y}{7} ma' y.

$$-\frac{5}{7}y-\frac{186}{7}=-2$$

Żid \frac{186}{7} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{5}{7}y=\frac{172}{7}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{5}{7}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{172}{5}$$

Issostitwixxi -\frac{172}{5} għal y f'x=-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{4}{7}\left(-\frac{172}{5}\right)-\frac{62}{7}$$

Immultiplika -\frac{4}{7} b'-\frac{172}{5} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{688}{35}-\frac{62}{7}$$

Żid -\frac{62}{7} ma' \frac{688}{35} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{54}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-7-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{-7-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{-7-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{7}{-7-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\\-\frac{3}{5}&-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 62+\frac{4}{5}\left(-2\right)\\-\frac{3}{5}\times 62-\frac{7}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{54}{5}\\-\frac{172}{5}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

Biex tagħmel -7x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-7.

$$3\left(-7\right)x+3\left(-4\right)y=3\times 62,-7\times 3x-7y=-7\left(-2\right)$$

Issimplifika.

$$-21x-12y=186,-21x-7y=14$$

Naqqas -21x-7y=14 minn -21x-12y=186 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-21x+21x-12y+7y=186-14$$

Żid -21x ma' 21x. -21x u 21x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-12y+7y=186-14$$

Żid -12y ma' 7y.

$$-5y=186-14$$

Żid 186 ma' -14.

$$-5y=172$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$y=-\frac{172}{5}$$

Issostitwixxi -\frac{172}{5} għal y f'3x+y=-2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x-\frac{172}{5}=-2$$

Żid \frac{172}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=\frac{162}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{54}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$