Issolvi {l}{-3x+y=-1}{5x-2y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 x + y = - 1 } \\ { 5 x - 2 y = 11 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-9$$

$$y=-28$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-3x+y=-1,5x-2y=11$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-3x+y=-1$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-3x=-y-1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-y-1\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{3} b'-y-1.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

Issostitwixxi \frac{1+y}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5x-2y=11.

$$5\left(\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)-2y=11$$

Immultiplika 5 b'\frac{1+y}{3}.

$$\frac{5}{3}y+\frac{5}{3}-2y=11$$

Żid \frac{5y}{3} ma' -2y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}=11$$

Naqqas \frac{5}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{28}{3}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-3.

$$y=-28$$

Issostitwixxi -28 għal y f'x=\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{3}\left(-28\right)+\frac{1}{3}$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-28.

$$x=\frac{-28+1}{3}$$

Żid \frac{1}{3} ma' -\frac{28}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-9$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-9,y=-28$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-3x+y=-1,5x-2y=11$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-3\left(-2\right)-5}&-\frac{1}{-3\left(-2\right)-5}\\-\frac{5}{-3\left(-2\right)-5}&-\frac{3}{-3\left(-2\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-1\\-5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\left(-1\right)-11\\-5\left(-1\right)-3\times 11\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-28\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-9,y=-28$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-3x+y=-1,5x-2y=11$$

Biex tagħmel -3x u 5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-3.

$$5\left(-3\right)x+5y=5\left(-1\right),-3\times 5x-3\left(-2\right)y=-3\times 11$$

Issimplifika.

$$-15x+5y=-5,-15x+6y=-33$$

Naqqas -15x+6y=-33 minn -15x+5y=-5 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-15x+15x+5y-6y=-5+33$$

Żid -15x ma' 15x. -15x u 15x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$5y-6y=-5+33$$

Żid 5y ma' -6y.

$$-y=-5+33$$

Żid -5 ma' 33.

$$-y=28$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=-28$$

Issostitwixxi -28 għal y f'5x-2y=11. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5x-2\left(-28\right)=11$$

Immultiplika -2 b'-28.

$$5x+56=11$$

Naqqas 56 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=-45$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=-9$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-9,y=-28$$