Issolvi {l}{-3(3x-y)=2(y+x)}{-3(2x+y)=2(x-3y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 ( 3 x - y ) = 2 ( y + x ) } \\ { - 3 ( 2 x + y ) = 2 ( x - 3 y ) } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=0$$

$$y=0$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -3 b'3x-y.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'y+x.

$$-9x+3y=2y+2x$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$-9x+3y-2y=2x$$

Ikkombina 3y u -2y biex tikseb y.

$$-9x+y=2x$$

Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$-9x+y-2x=0$$

Ikkombina -9x u -2x biex tikseb -11x.

$$-11x+y=0$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -3 b'2x+y.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x-3y.

$$-6x-3y=2x-6y$$

Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

Ikkombina -6x u -2x biex tikseb -8x.

$$-8x-3y=-6y$$

Żid 6y maż-żewġ naħat.

$$-8x-3y+6y=0$$

Ikkombina -3y u 6y biex tikseb 3y.

$$-8x+3y=0$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-11x+y=0$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-11x=-y$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-11.

$$x=-\frac{1}{11}\left(-1\right)y$$

Immultiplika -\frac{1}{11} b'-y.

$$x=\frac{1}{11}y$$

Issostitwixxi \frac{y}{11} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -8x+3y=0.

$$-8\times \frac{1}{11}y+3y=0$$

Immultiplika -8 b'\frac{y}{11}.

$$-\frac{8}{11}y+3y=0$$

Żid -\frac{8y}{11} ma' 3y.

$$\frac{25}{11}y=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{25}{11}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=0$$

Issostitwixxi 0 għal y f'x=\frac{1}{11}y. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=0,y=0$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -3 b'3x-y.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'y+x.

$$-9x+3y=2y+2x$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$-9x+3y-2y=2x$$

Ikkombina 3y u -2y biex tikseb y.

$$-9x+y=2x$$

Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$-9x+y-2x=0$$

Ikkombina -9x u -2x biex tikseb -11x.

$$-11x+y=0$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -3 b'2x+y.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x-3y.

$$-6x-3y=2x-6y$$

Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

Ikkombina -6x u -2x biex tikseb -8x.

$$-8x-3y=-6y$$

Żid 6y maż-żewġ naħat.

$$-8x-3y+6y=0$$

Ikkombina -3y u 6y biex tikseb 3y.

$$-8x+3y=0$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-11\times 3-\left(-8\right)}&-\frac{1}{-11\times 3-\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{-11\times 3-\left(-8\right)}&-\frac{11}{-11\times 3-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{25}&\frac{1}{25}\\-\frac{8}{25}&\frac{11}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=0,y=0$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -3 b'3x-y.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'y+x.

$$-9x+3y=2y+2x$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$-9x+3y-2y=2x$$

Ikkombina 3y u -2y biex tikseb y.

$$-9x+y=2x$$

Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$-9x+y-2x=0$$

Ikkombina -9x u -2x biex tikseb -11x.

$$-11x+y=0$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -3 b'2x+y.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x-3y.

$$-6x-3y=2x-6y$$

Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

Ikkombina -6x u -2x biex tikseb -8x.

$$-8x-3y=-6y$$

Żid 6y maż-żewġ naħat.

$$-8x-3y+6y=0$$

Ikkombina -3y u 6y biex tikseb 3y.

$$-8x+3y=0$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

Biex tagħmel -11x u -8x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-8 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-11.

$$-8\left(-11\right)x-8y=0,-11\left(-8\right)x-11\times 3y=0$$

Issimplifika.

$$88x-8y=0,88x-33y=0$$

Naqqas 88x-33y=0 minn 88x-8y=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$88x-88x-8y+33y=0$$

Żid 88x ma' -88x. 88x u -88x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-8y+33y=0$$

Żid -8y ma' 33y.

$$25y=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'25.

$$y=0$$

Issostitwixxi 0 għal y f'-8x+3y=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-8x=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-8.

$$x=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=0,y=0$$