Issolvi {l}{-2a-b+8=0}{-2b+a+1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 2 a - b + 8 = 0 } \\ { - 2 b + a + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Solvi għal a, b

$$a=3$$

$$b=2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal a billi tiżola a fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-2a-b+8=0$$

Naqqas 8 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2a-b=-8$$

Żid b maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2a=b-8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$a=-\frac{1}{2}\left(b-8\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'b-8.

$$a=-\frac{1}{2}b+4$$

Issostitwixxi -\frac{b}{2}+4 għal a fl-ekwazzjoni l-oħra, a-2b+1=0.

$$-\frac{1}{2}b+4-2b+1=0$$

Żid -\frac{b}{2} ma' -2b.

$$-\frac{5}{2}b+4+1=0$$

Żid 4 ma' 1.

$$-\frac{5}{2}b+5=0$$

Naqqas 5 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{5}{2}b=-5$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{5}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$b=2$$

Issostitwixxi 2 għal b f'a=-\frac{1}{2}b+4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$a=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'2.

$$a=-1+4$$

Żid 4 ma' -1.

$$a=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=3,b=2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-8\right)+\frac{1}{5}\left(-1\right)\\-\frac{1}{5}\left(-8\right)-\frac{2}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi a u b.

$$a=3,b=2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

Biex tagħmel -2a u a ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-2.

$$-2a-b+8=0,-2a-2\left(-2\right)b-2=0$$

Issimplifika.

$$-2a-b+8=0,-2a+4b-2=0$$

Naqqas -2a+4b-2=0 minn -2a-b+8=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-2a+2a-b-4b+8+2=0$$

Żid -2a ma' 2a. -2a u 2a jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-b-4b+8+2=0$$

Żid -b ma' -4b.

$$-5b+8+2=0$$

Żid 8 ma' 2.

$$-5b+10=0$$

Naqqas 10 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5b=-10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$b=2$$

Issostitwixxi 2 għal b f'a-2b+1=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$a-2\times 2+1=0$$

Immultiplika -2 b'2.

$$a-4+1=0$$

Żid -4 ma' 1.

$$a-3=0$$

Żid 3 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$a=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=3,b=2$$