Issolvi {l}{(x-2)^2-2(x-2y)=1-(3-x)(3+x)}{2x+y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x - 2 ) ^ { 2 } - 2 ( x - 2 y ) = 1 - ( 3 - x ) ( 3 + x ) } \\ { 2 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=2$$

$$y=0$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża teorema binomjali \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} biex tespandi \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -2 b'x-2y.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Ikkombina -4x u -2x biex tikseb -6x.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Ikkunsidra li \left(3-x\right)\left(3+x\right). Il-multiplikazzjoni tista' tiġi ttrasformata fid-differenza tal-kwadrati li jużaw ir-regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ikkwadra 3.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

Biex issib l-oppost ta' 9-x^{2}, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

Naqqas 9 minn 1 biex tikseb -8.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

Naqqas x^{2} miż-żewġ naħat.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

Ikkombina x^{2} u -x^{2} biex tikseb 0.

$$-6x+4+4y=-8$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat.

$$-6x+4y=-8-4$$

Naqqas 4 minn -8 biex tikseb -12.

$$-6x+4y=-12$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-6x+4y=-12$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-6x=-4y-12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-6.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-4y-12\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{6} b'-4y-12.

$$x=\frac{2}{3}y+2$$

Issostitwixxi \frac{2y}{3}+2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+y=4.

$$2\left(\frac{2}{3}y+2\right)+y=4$$

Immultiplika 2 b'\frac{2y}{3}+2.

$$\frac{4}{3}y+4+y=4$$

Żid \frac{4y}{3} ma' y.

$$\frac{7}{3}y+4=4$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{7}{3}y=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{7}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=0$$

Issostitwixxi 0 għal y f'x=\frac{2}{3}y+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=0$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża teorema binomjali \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} biex tespandi \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -2 b'x-2y.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Ikkombina -4x u -2x biex tikseb -6x.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Ikkunsidra li \left(3-x\right)\left(3+x\right). Il-multiplikazzjoni tista' tiġi ttrasformata fid-differenza tal-kwadrati li jużaw ir-regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ikkwadra 3.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

Biex issib l-oppost ta' 9-x^{2}, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

Naqqas 9 minn 1 biex tikseb -8.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

Naqqas x^{2} miż-żewġ naħat.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

Ikkombina x^{2} u -x^{2} biex tikseb 0.

$$-6x+4+4y=-8$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat.

$$-6x+4y=-8-4$$

Naqqas 4 minn -8 biex tikseb -12.

$$-6x+4y=-12$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-6-4\times 2}&-\frac{4}{-6-4\times 2}\\-\frac{2}{-6-4\times 2}&-\frac{6}{-6-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\left(-12\right)+\frac{2}{7}\times 4\\\frac{1}{7}\left(-12\right)+\frac{3}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=2,y=0$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża teorema binomjali \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} biex tespandi \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -2 b'x-2y.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Ikkombina -4x u -2x biex tikseb -6x.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Ikkunsidra li \left(3-x\right)\left(3+x\right). Il-multiplikazzjoni tista' tiġi ttrasformata fid-differenza tal-kwadrati li jużaw ir-regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ikkwadra 3.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

Biex issib l-oppost ta' 9-x^{2}, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

Naqqas 9 minn 1 biex tikseb -8.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

Naqqas x^{2} miż-żewġ naħat.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

Ikkombina x^{2} u -x^{2} biex tikseb 0.

$$-6x+4+4y=-8$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat.

$$-6x+4y=-8-4$$

Naqqas 4 minn -8 biex tikseb -12.

$$-6x+4y=-12$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

Biex tagħmel -6x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-6.

$$2\left(-6\right)x+2\times 4y=2\left(-12\right),-6\times 2x-6y=-6\times 4$$

Issimplifika.

$$-12x+8y=-24,-12x-6y=-24$$

Naqqas -12x-6y=-24 minn -12x+8y=-24 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-12x+12x+8y+6y=-24+24$$

Żid -12x ma' 12x. -12x u 12x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$8y+6y=-24+24$$

Żid 8y ma' 6y.

$$14y=-24+24$$

Żid -24 ma' 24.

$$14y=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'14.

$$y=0$$

Issostitwixxi 0 għal y f'2x+y=4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x=4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=0$$