Issolvi {l}{x-y/5-y/2=x-1}{x/3+y+2/2=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x - y } { 5 } - \frac { y } { 2 } = x - 1 } \\ { \frac { x } { 3 } + \frac { y + 2 } { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'10, l-inqas denominatur komuni ta' 5,2.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x-y.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

Ikkombina -2y u -5y biex tikseb -7y.

$$2x-7y=10x-10$$

Naqqas 10x miż-żewġ naħat.

$$2x-7y-10x=-10$$

Ikkombina 2x u -10x biex tikseb -8x.

$$-8x-7y=-10$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 3,2.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'y+2.

$$2x+3y+6=6$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat.

$$2x+3y=6-6$$

Naqqas 6 minn 6 biex tikseb 0.

$$2x+3y=0$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-8x-7y=-10$$

Żid 7y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-8x=7y-10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(7y-10\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{8} b'7y-10.

$$x=-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}$$

Issostitwixxi -\frac{7y}{8}+\frac{5}{4} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+3y=0.

$$2\left(-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}\right)+3y=0$$

Immultiplika 2 b'-\frac{7y}{8}+\frac{5}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{5}{2}+3y=0$$

Żid -\frac{7y}{4} ma' 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{5}{2}=0$$

Naqqas \frac{5}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{5}{4}y=-\frac{5}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{5}{4}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'x=-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{7}{8}\left(-2\right)+\frac{5}{4}$$

Immultiplika -\frac{7}{8} b'-2.

$$x=\frac{7+5}{4}$$

Żid \frac{5}{4} ma' \frac{7}{4} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'10, l-inqas denominatur komuni ta' 5,2.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x-y.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

Ikkombina -2y u -5y biex tikseb -7y.

$$2x-7y=10x-10$$

Naqqas 10x miż-żewġ naħat.

$$2x-7y-10x=-10$$

Ikkombina 2x u -10x biex tikseb -8x.

$$-8x-7y=-10$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 3,2.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'y+2.

$$2x+3y+6=6$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat.

$$2x+3y=6-6$$

Naqqas 6 minn 6 biex tikseb 0.

$$2x+3y=0$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{8}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}&-\frac{7}{10}\\\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}\left(-10\right)\\\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=3,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'10, l-inqas denominatur komuni ta' 5,2.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x-y.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

Ikkombina -2y u -5y biex tikseb -7y.

$$2x-7y=10x-10$$

Naqqas 10x miż-żewġ naħat.

$$2x-7y-10x=-10$$

Ikkombina 2x u -10x biex tikseb -8x.

$$-8x-7y=-10$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 3,2.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'y+2.

$$2x+3y+6=6$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat.

$$2x+3y=6-6$$

Naqqas 6 minn 6 biex tikseb 0.

$$2x+3y=0$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

Biex tagħmel -8x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-8.

$$2\left(-8\right)x+2\left(-7\right)y=2\left(-10\right),-8\times 2x-8\times 3y=0$$

Issimplifika.

$$-16x-14y=-20,-16x-24y=0$$

Naqqas -16x-24y=0 minn -16x-14y=-20 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-16x+16x-14y+24y=-20$$

Żid -16x ma' 16x. -16x u 16x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-14y+24y=-20$$

Żid -14y ma' 24y.

$$10y=-20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'10.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'2x+3y=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x+3\left(-2\right)=0$$

Immultiplika 3 b'-2.

$$2x-6=0$$

Żid 6 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=-2$$