Issolvi {l}{x/1+2+y/2=8}{x/2+3+y/6=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 1 + 2 } + \frac { y } { 2 } = 8 } \\ { \frac { x } { 2 + 3 } + \frac { y } { 6 } = 4 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=15$$

$$y=6$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=8,\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=8$$

Naqqas \frac{y}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{1}{3}x=-\frac{1}{2}y+8$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'3.

$$x=3\left(-\frac{1}{2}y+8\right)$$

Immultiplika 3 b'-\frac{y}{2}+8.

$$x=-\frac{3}{2}y+24$$

Issostitwixxi -\frac{3y}{2}+24 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, \frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4.

$$\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}y+24\right)+\frac{1}{6}y=4$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'-\frac{3y}{2}+24.

$$-\frac{3}{10}y+\frac{24}{5}+\frac{1}{6}y=4$$

Żid -\frac{3y}{10} ma' \frac{y}{6}.

$$-\frac{2}{15}y+\frac{24}{5}=4$$

Naqqas \frac{24}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{2}{15}y=-\frac{4}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{2}{15}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=6$$

Issostitwixxi 6 għal y f'x=-\frac{3}{2}y+24. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+24$$

Immultiplika -\frac{3}{2} b'6.

$$x=-9+24$$

Żid 24 ma' -9.

$$x=15$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=15,y=6$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=8,\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}&-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}\\-\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}&\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{4}&\frac{45}{4}\\\frac{9}{2}&-\frac{15}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{4}\times 8+\frac{45}{4}\times 4\\\frac{9}{2}\times 8-\frac{15}{2}\times 4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\6\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=15,y=6$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=8,\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4$$

Biex tagħmel \frac{x}{3} u \frac{x}{5} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'\frac{1}{5} u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'\frac{1}{3}.

$$\frac{1}{5}\times \frac{1}{3}x+\frac{1}{5}\times \frac{1}{2}y=\frac{1}{5}\times 8,\frac{1}{3}\times \frac{1}{5}x+\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}y=\frac{1}{3}\times 4$$

Issimplifika.

$$\frac{1}{15}x+\frac{1}{10}y=\frac{8}{5},\frac{1}{15}x+\frac{1}{18}y=\frac{4}{3}$$

Naqqas \frac{1}{15}x+\frac{1}{18}y=\frac{4}{3} minn \frac{1}{15}x+\frac{1}{10}y=\frac{8}{5} billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$\frac{1}{15}x-\frac{1}{15}x+\frac{1}{10}y-\frac{1}{18}y=\frac{8}{5}-\frac{4}{3}$$

Żid \frac{x}{15} ma' -\frac{x}{15}. \frac{x}{15} u -\frac{x}{15} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$\frac{1}{10}y-\frac{1}{18}y=\frac{8}{5}-\frac{4}{3}$$

Żid \frac{y}{10} ma' -\frac{y}{18}.

$$\frac{2}{45}y=\frac{8}{5}-\frac{4}{3}$$

Żid \frac{8}{5} ma' -\frac{4}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$\frac{2}{45}y=\frac{4}{15}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{2}{45}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=6$$

Issostitwixxi 6 għal y f'\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}\times 6=4$$

Immultiplika \frac{1}{6} b'6.

$$\frac{1}{5}x+1=4$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{1}{5}x=3$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'5.

$$x=15$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=15,y=6$$