Issolvi {l}{x+2/y+5=x+7/y}{2x-4y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { y + 5 } = \frac { x + 7 } { y } } \\ { 2 x - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = -\frac{29}{6} = -4\frac{5}{6} \approx -4.833333333$$

$$y = -\frac{13}{6} = -2\frac{1}{6} \approx -2.166666667$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Il-varjabbli y ma jistax ikun ugwali għal kwalunkwe mill-valuri -5,0 billi d-diviżjoni b'żero mhix definita. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'y\left(y+5\right), l-inqas denominatur komuni ta' y+5,y.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika y b'x+2.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika y+5 b'x+7.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

Naqqas yx miż-żewġ naħat.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

Ikkombina yx u -yx biex tikseb 0.

$$2y=7y+5x+35$$

Naqqas 7y miż-żewġ naħat.

$$2y-7y=5x+35$$

Ikkombina 2y u -7y biex tikseb -5y.

$$-5y=5x+35$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$y=-\frac{1}{5}\left(5x+35\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{5} b'35+5x.

$$y=-x-7$$

Issostitwixxi -x-7 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, -4y+2x=-1.

$$-4\left(-x-7\right)+2x=-1$$

Immultiplika -4 b'-x-7.

$$4x+28+2x=-1$$

Żid 4x ma' 2x.

$$6x+28=-1$$

Naqqas 28 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=-29$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=-\frac{29}{6}$$

Issostitwixxi -\frac{29}{6} għal x f'y=-x-7. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=-\left(-\frac{29}{6}\right)-7$$

Immultiplika -1 b'-\frac{29}{6}.

$$y=\frac{29}{6}-7$$

Żid -7 ma' \frac{29}{6}.

$$y=-\frac{13}{6}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Il-varjabbli y ma jistax ikun ugwali għal kwalunkwe mill-valuri -5,0 billi d-diviżjoni b'żero mhix definita. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'y\left(y+5\right), l-inqas denominatur komuni ta' y+5,y.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika y b'x+2.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika y+5 b'x+7.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

Naqqas yx miż-żewġ naħat.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

Ikkombina yx u -yx biex tikseb 0.

$$2y=7y+5x+35$$

Naqqas 7y miż-żewġ naħat.

$$2y-7y=5x+35$$

Ikkombina 2y u -7y biex tikseb -5y.

$$-5y=5x+35$$

Naqqas 5x miż-żewġ naħat.

$$-5y-5x=35$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 35-\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{2}{15}\times 35+\frac{1}{6}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{6}\\-\frac{29}{6}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Il-varjabbli y ma jistax ikun ugwali għal kwalunkwe mill-valuri -5,0 billi d-diviżjoni b'żero mhix definita. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'y\left(y+5\right), l-inqas denominatur komuni ta' y+5,y.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika y b'x+2.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika y+5 b'x+7.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

Naqqas yx miż-żewġ naħat.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

Ikkombina yx u -yx biex tikseb 0.

$$2y=7y+5x+35$$

Naqqas 7y miż-żewġ naħat.

$$2y-7y=5x+35$$

Ikkombina 2y u -7y biex tikseb -5y.

$$-5y=5x+35$$

Naqqas 5x miż-żewġ naħat.

$$-5y-5x=35$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

Biex tagħmel -5y u -4y ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-5.

$$-4\left(-5\right)y-4\left(-5\right)x=-4\times 35,-5\left(-4\right)y-5\times 2x=-5\left(-1\right)$$

Issimplifika.

$$20y+20x=-140,20y-10x=5$$

Naqqas 20y-10x=5 minn 20y+20x=-140 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$20y-20y+20x+10x=-140-5$$

Żid 20y ma' -20y. 20y u -20y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$20x+10x=-140-5$$

Żid 20x ma' 10x.

$$30x=-140-5$$

Żid -140 ma' -5.

$$30x=-145$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'30.

$$x=-\frac{29}{6}$$

Issostitwixxi -\frac{29}{6} għal x f'-4y+2x=-1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$-4y+2\left(-\frac{29}{6}\right)=-1$$

Immultiplika 2 b'-\frac{29}{6}.

$$-4y-\frac{29}{3}=-1$$

Żid \frac{29}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-4y=\frac{26}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$y=-\frac{13}{6}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$