Issolvi {l}{1/5x-2y=10}{3x-3/2y=36}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 5 } x - 2 y = 10 } \\ { 3 x - \frac { 3 } { 2 } y = 36 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=10$$

$$y=-4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$\frac{1}{5}x-2y=10,3x-\frac{3}{2}y=36$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$\frac{1}{5}x-2y=10$$

Żid 2y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{1}{5}x=2y+10$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'5.

$$x=5\left(2y+10\right)$$

Immultiplika 5 b'10+2y.

$$x=10y+50$$

Issostitwixxi 50+10y għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x-\frac{3}{2}y=36.

$$3\left(10y+50\right)-\frac{3}{2}y=36$$

Immultiplika 3 b'50+10y.

$$30y+150-\frac{3}{2}y=36$$

Żid 30y ma' -\frac{3y}{2}.

$$\frac{57}{2}y+150=36$$

Naqqas 150 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{57}{2}y=-114$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{57}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-4$$

Issostitwixxi -4 għal y f'x=10y+50. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=10\left(-4\right)+50$$

Immultiplika 10 b'-4.

$$x=-40+50$$

Żid 50 ma' -40.

$$x=10$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=10,y=-4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$\frac{1}{5}x-2y=10,3x-\frac{3}{2}y=36$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{19}&\frac{20}{57}\\-\frac{10}{19}&\frac{2}{57}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{19}\times 10+\frac{20}{57}\times 36\\-\frac{10}{19}\times 10+\frac{2}{57}\times 36\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=10,y=-4$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$\frac{1}{5}x-2y=10,3x-\frac{3}{2}y=36$$

Biex tagħmel \frac{x}{5} u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'\frac{1}{5}.

$$3\times \frac{1}{5}x+3\left(-2\right)y=3\times 10,\frac{1}{5}\times 3x+\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}\right)y=\frac{1}{5}\times 36$$

Issimplifika.

$$\frac{3}{5}x-6y=30,\frac{3}{5}x-\frac{3}{10}y=\frac{36}{5}$$

Naqqas \frac{3}{5}x-\frac{3}{10}y=\frac{36}{5} minn \frac{3}{5}x-6y=30 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$\frac{3}{5}x-\frac{3}{5}x-6y+\frac{3}{10}y=30-\frac{36}{5}$$

Żid \frac{3x}{5} ma' -\frac{3x}{5}. \frac{3x}{5} u -\frac{3x}{5} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-6y+\frac{3}{10}y=30-\frac{36}{5}$$

Żid -6y ma' \frac{3y}{10}.

$$-\frac{57}{10}y=30-\frac{36}{5}$$

Żid 30 ma' -\frac{36}{5}.

$$-\frac{57}{10}y=\frac{114}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{57}{10}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-4$$

Issostitwixxi -4 għal y f'3x-\frac{3}{2}y=36. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x-\frac{3}{2}\left(-4\right)=36$$

Immultiplika -\frac{3}{2} b'-4.

$$3x+6=36$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=30$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=10$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=10,y=-4$$