Issolvi {c}{7x-2y=-17}{3x-5y=-28}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 7 x - 2 y = - 17 } \\ { 3 x - 5 y = - 28 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-1$$

$$y=5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$7x-2y=-17,3x-5y=-28$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$7x-2y=-17$$

Żid 2y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7x=2y-17$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$x=\frac{1}{7}\left(2y-17\right)$$

Immultiplika \frac{1}{7} b'2y-17.

$$x=\frac{2}{7}y-\frac{17}{7}$$

Issostitwixxi \frac{2y-17}{7} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x-5y=-28.

$$3\left(\frac{2}{7}y-\frac{17}{7}\right)-5y=-28$$

Immultiplika 3 b'\frac{2y-17}{7}.

$$\frac{6}{7}y-\frac{51}{7}-5y=-28$$

Żid \frac{6y}{7} ma' -5y.

$$-\frac{29}{7}y-\frac{51}{7}=-28$$

Żid \frac{51}{7} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{29}{7}y=-\frac{145}{7}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{29}{7}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'x=\frac{2}{7}y-\frac{17}{7}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{2}{7}\times 5-\frac{17}{7}$$

Immultiplika \frac{2}{7} b'5.

$$x=\frac{10-17}{7}$$

Żid -\frac{17}{7} ma' \frac{10}{7} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-1,y=5$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$7x-2y=-17,3x-5y=-28$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}7&-2\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\-28\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}7&-2\\3&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-2\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\-28\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\-28\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\-28\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7\left(-5\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{7\left(-5\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{7\left(-5\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{7}{7\left(-5\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\-28\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}&-\frac{2}{29}\\\frac{3}{29}&-\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\-28\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}\left(-17\right)-\frac{2}{29}\left(-28\right)\\\frac{3}{29}\left(-17\right)-\frac{7}{29}\left(-28\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-1,y=5$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$7x-2y=-17,3x-5y=-28$$

Biex tagħmel 7x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'7.

$$3\times 7x+3\left(-2\right)y=3\left(-17\right),7\times 3x+7\left(-5\right)y=7\left(-28\right)$$

Issimplifika.

$$21x-6y=-51,21x-35y=-196$$

Naqqas 21x-35y=-196 minn 21x-6y=-51 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$21x-21x-6y+35y=-51+196$$

Żid 21x ma' -21x. 21x u -21x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-6y+35y=-51+196$$

Żid -6y ma' 35y.

$$29y=-51+196$$

Żid -51 ma' 196.

$$29y=145$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'29.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'3x-5y=-28. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x-5\times 5=-28$$

Immultiplika -5 b'5.

$$3x-25=-28$$

Żid 25 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=-1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-1,y=5$$