Issolvi {c}{0.4(3x+1)-0.2(2x+y)=-0.4}{3(0.4x-0.5)+5(0.3y-1.1)=-2.8}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 0.4 ( 3 x + 1 ) - 0.2 ( 2 x + y ) = - 0.4 } \\ { 3 ( 0.4 x - 0.5 ) + 5 ( 0.3 y - 1.1 ) = - 2.8 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-0.25$$

$$y=3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 0.4 b'3x+1.

$$1.2x+0.4-0.2\left(2x+y\right)=-0.4$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -0.2 b'2x+y.

$$1.2x+0.4-0.4x-0.2y=-0.4$$

Ikkombina 1.2x u -0.4x biex tikseb 0.8x.

$$0.8x+0.4-0.2y=-0.4$$

Naqqas 0.4 miż-żewġ naħat.

$$0.8x-0.2y=-0.4-0.4$$

Naqqas 0.4 minn -0.4 biex tikseb -0.8.

$$0.8x-0.2y=-0.8$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'0.4x-0.5.

$$1.2x-1.5+5\left(0.3y-1.1\right)=-2.8$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 5 b'0.3y-1.1.

$$1.2x-1.5+1.5y-5.5=-2.8$$

Naqqas 5.5 minn -1.5 biex tikseb -7.

$$1.2x-7+1.5y=-2.8$$

Żid 7 maż-żewġ naħat.

$$1.2x+1.5y=-2.8+7$$

Żid -2.8 u 7 biex tikseb 4.2.

$$1.2x+1.5y=4.2$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$0.8x-0.2y=-0.8,1.2x+1.5y=4.2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$0.8x-0.2y=-0.8$$

Żid \frac{y}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$0.8x=0.2y-0.8$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'0.8, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=1.25\left(0.2y-0.8\right)$$

Immultiplika 1.25 b'\frac{y-4}{5}.

$$x=0.25y-1$$

Issostitwixxi \frac{y}{4}-1 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 1.2x+1.5y=4.2.

$$1.2\left(0.25y-1\right)+1.5y=4.2$$

Immultiplika 1.2 b'\frac{y}{4}-1.

$$0.3y-1.2+1.5y=4.2$$

Żid \frac{3y}{10} ma' \frac{3y}{2}.

$$1.8y-1.2=4.2$$

Żid 1.2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$1.8y=5.4$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'1.8, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=3$$

Issostitwixxi 3 għal y f'x=0.25y-1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=0.25\times 3-1$$

Immultiplika 0.25 b'3.

$$x=0.75-1$$

Żid -1 ma' 0.75.

$$x=-0.25$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-0.25,y=3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 0.4 b'3x+1.

$$1.2x+0.4-0.2\left(2x+y\right)=-0.4$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -0.2 b'2x+y.

$$1.2x+0.4-0.4x-0.2y=-0.4$$

Ikkombina 1.2x u -0.4x biex tikseb 0.8x.

$$0.8x+0.4-0.2y=-0.4$$

Naqqas 0.4 miż-żewġ naħat.

$$0.8x-0.2y=-0.4-0.4$$

Naqqas 0.4 minn -0.4 biex tikseb -0.8.

$$0.8x-0.2y=-0.8$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'0.4x-0.5.

$$1.2x-1.5+5\left(0.3y-1.1\right)=-2.8$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 5 b'0.3y-1.1.

$$1.2x-1.5+1.5y-5.5=-2.8$$

Naqqas 5.5 minn -1.5 biex tikseb -7.

$$1.2x-7+1.5y=-2.8$$

Żid 7 maż-żewġ naħat.

$$1.2x+1.5y=-2.8+7$$

Żid -2.8 u 7 biex tikseb 4.2.

$$1.2x+1.5y=4.2$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$0.8x-0.2y=-0.8,1.2x+1.5y=4.2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\1.2&1.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8\\4.2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\1.2&1.5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\1.2&1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\1.2&1.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\1.2&1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.8\\4.2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\1.2&1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.8\\4.2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\1.2&1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.8\\4.2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1.5}{0.8\times 1.5-\left(-0.2\times 1.2\right)}&-\frac{-0.2}{0.8\times 1.5-\left(-0.2\times 1.2\right)}\\-\frac{1.2}{0.8\times 1.5-\left(-0.2\times 1.2\right)}&\frac{0.8}{0.8\times 1.5-\left(-0.2\times 1.2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-0.8\\4.2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{24}&\frac{5}{36}\\-\frac{5}{6}&\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-0.8\\4.2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{24}\left(-0.8\right)+\frac{5}{36}\times 4.2\\-\frac{5}{6}\left(-0.8\right)+\frac{5}{9}\times 4.2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25\\3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-0.25,y=3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 0.4 b'3x+1.

$$1.2x+0.4-0.2\left(2x+y\right)=-0.4$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -0.2 b'2x+y.

$$1.2x+0.4-0.4x-0.2y=-0.4$$

Ikkombina 1.2x u -0.4x biex tikseb 0.8x.

$$0.8x+0.4-0.2y=-0.4$$

Naqqas 0.4 miż-żewġ naħat.

$$0.8x-0.2y=-0.4-0.4$$

Naqqas 0.4 minn -0.4 biex tikseb -0.8.

$$0.8x-0.2y=-0.8$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'0.4x-0.5.

$$1.2x-1.5+5\left(0.3y-1.1\right)=-2.8$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 5 b'0.3y-1.1.

$$1.2x-1.5+1.5y-5.5=-2.8$$

Naqqas 5.5 minn -1.5 biex tikseb -7.

$$1.2x-7+1.5y=-2.8$$

Żid 7 maż-żewġ naħat.

$$1.2x+1.5y=-2.8+7$$

Żid -2.8 u 7 biex tikseb 4.2.

$$1.2x+1.5y=4.2$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$0.8x-0.2y=-0.8,1.2x+1.5y=4.2$$

Biex tagħmel \frac{4x}{5} u \frac{6x}{5} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1.2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'0.8.

$$1.2\times 0.8x+1.2\left(-0.2\right)y=1.2\left(-0.8\right),0.8\times 1.2x+0.8\times 1.5y=0.8\times 4.2$$

Issimplifika.

$$0.96x-0.24y=-0.96,0.96x+1.2y=3.36$$

Naqqas 0.96x+1.2y=3.36 minn 0.96x-0.24y=-0.96 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$0.96x-0.96x-0.24y-1.2y=\frac{-24-84}{25}$$

Żid \frac{24x}{25} ma' -\frac{24x}{25}. \frac{24x}{25} u -\frac{24x}{25} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-0.24y-1.2y=\frac{-24-84}{25}$$

Żid -\frac{6y}{25} ma' -\frac{6y}{5}.

$$-1.44y=\frac{-24-84}{25}$$

Żid -0.96 ma' -3.36 biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$-1.44y=-4.32$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-1.44, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=3$$

Issostitwixxi 3 għal y f'1.2x+1.5y=4.2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$1.2x+1.5\times 3=4.2$$

Immultiplika 1.5 b'3.

$$1.2x+4.5=4.2$$

Naqqas 4.5 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$1.2x=-0.3$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'1.2, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=-0.25$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-0.25,y=3$$