Issolvi {c}{-x+2y=0}{2x-3y+1=0}

$$\left\{ \begin{array} { c } { - x + 2 y = 0 } \\ { 2 x - 3 y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-2$$

$$y=-1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-x+2y=0,2x-3y+1=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-x+2y=0$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=-2y$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=-\left(-2\right)y$$

Immultiplika -1 b'-2y.

$$x=2y$$

Issostitwixxi 2y għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x-3y+1=0.

$$2\times 2y-3y+1=0$$

Immultiplika 2 b'2y.

$$4y-3y+1=0$$

Żid 4y ma' -3y.

$$y+1=0$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'x=2y. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=2\left(-1\right)$$

Immultiplika 2 b'-1.

$$x=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-2,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-x+2y=0,2x-3y+1=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-\left(-3\right)-2\times 2}&-\frac{2}{-\left(-3\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{-\left(-3\right)-2\times 2}&-\frac{1}{-\left(-3\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\left(-1\right)\\-1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-2,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-x+2y=0,2x-3y+1=0$$

Biex tagħmel -x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-1.

$$2\left(-1\right)x+2\times 2y=0,-2x-\left(-3y\right)-1=0$$

Issimplifika.

$$-2x+4y=0,-2x+3y-1=0$$

Naqqas -2x+3y-1=0 minn -2x+4y=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-2x+2x+4y-3y+1=0$$

Żid -2x ma' 2x. -2x u 2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$4y-3y+1=0$$

Żid 4y ma' -3y.

$$y+1=0$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'2x-3y+1=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x-3\left(-1\right)+1=0$$

Immultiplika -3 b'-1.

$$2x+3+1=0$$

Żid 3 ma' 1.

$$2x+4=0$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-2,y=-1$$