Issolvi {c}{3-2y/4-1/4=1-2x/6}{25/8-1=frac{x+3}{2}-frac{3(1+y)}{8}}

$$\left\{ \begin{array} { c } { \frac { 3 - 2 y } { 4 } - \frac { 1 } { 4 } = \frac { 1 - 2 x } { 6 } } \\ { \frac { 25 } { 8 } - 1 = \frac { x + 3 } { 2 } - \frac { 3 ( 1 + y ) } { 8 } } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=5$$

$$y=4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 4,6.

$$3\left(3-2y\right)-3=2\left(1-2x\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'3-2y.

$$9-6y-3=2\left(1-2x\right)$$

Naqqas 3 minn 9 biex tikseb 6.

$$6-6y=2\left(1-2x\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'1-2x.

$$6-6y=2-4x$$

Żid 4x maż-żewġ naħat.

$$6-6y+4x=2$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat.

$$-6y+4x=2-6$$

Naqqas 6 minn 2 biex tikseb -4.

$$-6y+4x=-4$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'8, l-inqas denominatur komuni ta' 8,2.

$$25-8=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

Naqqas 8 minn 25 biex tikseb 17.

$$17=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'x+3.

$$17=4x+12-3\left(1+y\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -3 b'1+y.

$$17=4x+12-3-3y$$

Naqqas 3 minn 12 biex tikseb 9.

$$17=4x+9-3y$$

Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$4x+9-3y=17$$

Naqqas 9 miż-żewġ naħat.

$$4x-3y=17-9$$

Naqqas 9 minn 17 biex tikseb 8.

$$4x-3y=8$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-6y+4x=-4,-3y+4x=8$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-6y+4x=-4$$

Naqqas 4x miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-6y=-4x-4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-6.

$$y=-\frac{1}{6}\left(-4x-4\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{6} b'-4x-4.

$$y=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}$$

Issostitwixxi \frac{2+2x}{3} għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, -3y+4x=8.

$$-3\left(\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}\right)+4x=8$$

Immultiplika -3 b'\frac{2+2x}{3}.

$$-2x-2+4x=8$$

Żid -2x ma' 4x.

$$2x-2=8$$

Żid 2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=5$$

Issostitwixxi 5 għal x f'y=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=\frac{2}{3}\times 5+\frac{2}{3}$$

Immultiplika \frac{2}{3} b'5.

$$y=\frac{10+2}{3}$$

Żid \frac{2}{3} ma' \frac{10}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$y=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=4,x=5$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 4,6.

$$3\left(3-2y\right)-3=2\left(1-2x\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'3-2y.

$$9-6y-3=2\left(1-2x\right)$$

Naqqas 3 minn 9 biex tikseb 6.

$$6-6y=2\left(1-2x\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'1-2x.

$$6-6y=2-4x$$

Żid 4x maż-żewġ naħat.

$$6-6y+4x=2$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat.

$$-6y+4x=2-6$$

Naqqas 6 minn 2 biex tikseb -4.

$$-6y+4x=-4$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'8, l-inqas denominatur komuni ta' 8,2.

$$25-8=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

Naqqas 8 minn 25 biex tikseb 17.

$$17=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'x+3.

$$17=4x+12-3\left(1+y\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -3 b'1+y.

$$17=4x+12-3-3y$$

Naqqas 3 minn 12 biex tikseb 9.

$$17=4x+9-3y$$

Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$4x+9-3y=17$$

Naqqas 9 miż-żewġ naħat.

$$4x-3y=17-9$$

Naqqas 9 minn 17 biex tikseb 8.

$$4x-3y=8$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-6y+4x=-4,-3y+4x=8$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-6\times 4-4\left(-3\right)}&-\frac{4}{-6\times 4-4\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-6\times 4-4\left(-3\right)}&-\frac{6}{-6\times 4-4\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{1}{3}\times 8\\-\frac{1}{4}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=4,x=5$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 4,6.

$$3\left(3-2y\right)-3=2\left(1-2x\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'3-2y.

$$9-6y-3=2\left(1-2x\right)$$

Naqqas 3 minn 9 biex tikseb 6.

$$6-6y=2\left(1-2x\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'1-2x.

$$6-6y=2-4x$$

Żid 4x maż-żewġ naħat.

$$6-6y+4x=2$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat.

$$-6y+4x=2-6$$

Naqqas 6 minn 2 biex tikseb -4.

$$-6y+4x=-4$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'8, l-inqas denominatur komuni ta' 8,2.

$$25-8=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

Naqqas 8 minn 25 biex tikseb 17.

$$17=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'x+3.

$$17=4x+12-3\left(1+y\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -3 b'1+y.

$$17=4x+12-3-3y$$

Naqqas 3 minn 12 biex tikseb 9.

$$17=4x+9-3y$$

Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$4x+9-3y=17$$

Naqqas 9 miż-żewġ naħat.

$$4x-3y=17-9$$

Naqqas 9 minn 17 biex tikseb 8.

$$4x-3y=8$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-6y+4x=-4,-3y+4x=8$$

Naqqas -3y+4x=8 minn -6y+4x=-4 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-6y+3y+4x-4x=-4-8$$

Żid 4x ma' -4x. 4x u -4x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-6y+3y=-4-8$$

Żid -6y ma' 3y.

$$-3y=-4-8$$

Żid -4 ma' -8.

$$-3y=-12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'-3y+4x=8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-3\times 4+4x=8$$

Immultiplika -3 b'4.

$$-12+4x=8$$

Żid 12 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=4,x=5$$