Selesaikan z^3+3z^2+4z-8=0

$$z ^ { 3 } + 3 z ^ { 2 } + 4 z - 8 = 0$$

Selesaikan untuk z (complex solution)

$$z=-2-2i$$

$$z=1$$

$$z=-2+2i$$

Langkah Penyelesaian

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar -8 dan q membahagikan pekali pelopor 1. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±8,±4,±2,±1$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$z=1$$

Dengan teorem Faktor, z-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan z^{3}+3z^{2}+4z-8 dengan z-1 untuk mendapatkan z^{2}+4z+8. Selesaikan persamaan di mana hasil bersamaan dengan 0.

$$z^{2}+4z+8=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 1 untuk a, 4 untuk b dan 8 untuk c dalam formula kuadratik.

$$z=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 8}}{2}$$

Lakukan pengiraan.

$$z=\frac{-4±\sqrt{-16}}{2}$$

Selesaikan persamaan z^{2}+4z+8=0 apabila ± adalah tambah dan apabila ± adalah tolak.

$$z=-2-2i z=-2+2i$$

Senaraikan semua penyelesaian yang ditemui.

$$z=1 z=-2-2i z=-2+2i$$

Selesaikan untuk z

$$z=1$$

Langkah Penyelesaian

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar -8 dan q membahagikan pekali pelopor 1. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±8,±4,±2,±1$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$z=1$$

Dengan teorem Faktor, z-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan z^{3}+3z^{2}+4z-8 dengan z-1 untuk mendapatkan z^{2}+4z+8. Selesaikan persamaan di mana hasil bersamaan dengan 0.

$$z^{2}+4z+8=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 1 untuk a, 4 untuk b dan 8 untuk c dalam formula kuadratik.

$$z=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 8}}{2}$$

Lakukan pengiraan.

$$z=\frac{-4±\sqrt{-16}}{2}$$

Oleh kerana punca kuasa dua nombor negatif tidak ditakrifkan dalam medan sebenar, tiada penyelesaian.

$$z\in \emptyset$$

Senaraikan semua penyelesaian yang ditemui.

$$z=1$$