Selesaikan z^2-3z+4/4=0

$$z ^ { 2 } - 3 z + \frac { 4 } { 4 } = 0$$

Selesaikan untuk z

$$z = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2.618033989$$

$$z=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0.381966011$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$z^{2}-3z+1=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, -3 dengan b dan 1 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4}}{2}$$

Kuasa dua -3.

$$z=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4}}{2}$$

Tambahkan 9 pada -4.

$$z=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{5}}{2}$$

Nombor bertentangan -3 ialah 3.

$$z=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan z=\frac{3±\sqrt{5}}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan 3 pada \sqrt{5}.

$$z=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan z=\frac{3±\sqrt{5}}{2} apabila ± ialah minus. Tolak \sqrt{5} daripada 3.

$$z=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$z=\frac{\sqrt{5}+3}{2} z=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-3z+1=0$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$z^{2}-3z+1-1=-1$$

Menolak 1 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$z^{2}-3z=-1$$

Bahagikan -3 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{3}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{3}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$z^{2}-3z+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{3}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$z^{2}-3z+\frac{9}{4}=-1+\frac{9}{4}$$

Tambahkan -1 pada \frac{9}{4}.

$$z^{2}-3z+\frac{9}{4}=\frac{5}{4}$$

Faktor z^{2}-3z+\frac{9}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(z-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Permudahkan.

$$z-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} z-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Tambahkan \frac{3}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$z=\frac{\sqrt{5}+3}{2} z=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$