Selesaikan z^2-2iz+3=0

$$z ^ { 2 } - 2 i z + 3 = 0$$

Selesaikan untuk z

$$z=3i$$

$$z=-i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$z^{2}-2iz+3=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, -2i dengan b dan 3 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{2i±\sqrt{\left(-2i\right)^{2}-4\times 3}}{2}$$

Kuasa dua -2i.

$$z=\frac{2i±\sqrt{-4-4\times 3}}{2}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$z=\frac{2i±\sqrt{-4-12}}{2}$$

Tambahkan -4 pada -12.

$$z=\frac{2i±\sqrt{-16}}{2}$$

Ambil punca kuasa dua -16.

$$z=\frac{2i±4i}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan z=\frac{2i±4i}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan 2i pada 4i.

$$z=\frac{6i}{2}$$

Bahagikan 6i dengan 2.

$$z=3i$$

Sekarang selesaikan persamaan z=\frac{2i±4i}{2} apabila ± ialah minus. Tolak 4i daripada 2i.

$$z=\frac{-2i}{2}$$

Bahagikan -2i dengan 2.

$$z=-i$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$z=3i z=-i$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-2iz+3=0$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$z^{2}-2iz+3-3=-3$$

Menolak 3 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$z^{2}-2iz=-3$$

Bahagikan -2i iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -i. Kemudian tambahkan kuasa dua -i pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$z^{2}-2iz+\left(-i\right)^{2}=-3+\left(-i\right)^{2}$$

Kuasa dua -i.

$$z^{2}-2iz-1=-3-1$$

Tambahkan -3 pada -1.

$$z^{2}-2iz-1=-4$$

Faktor z^{2}-2iz-1. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-i\right)^{2}=-4$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(z-i\right)^{2}}=\sqrt{-4}$$

Permudahkan.

$$z-i=2i z-i=-2i$$

Tambahkan i pada kedua-dua belah persamaan.

$$z=3i z=-i$$