Selesaikan z^2+3z-30=(2z+5)(z+6)

$$z ^ { 2 } + 3 z - 30 = ( 2 z + 5 ) ( z + 6 )$$

Selesaikan untuk z

$$z=-\sqrt{11}i-7\approx -7-3.31662479i$$

$$z=-7+\sqrt{11}i\approx -7+3.31662479i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2z+5 dengan z+6 dan gabungkan sebutan yang serupa.

$$z^{2}+3z-30=2z^{2}+17z+30$$

Tolak 2z^{2} daripada kedua-dua belah.

$$z^{2}+3z-30-2z^{2}=17z+30$$

Gabungkan z^{2} dan -2z^{2} untuk mendapatkan -z^{2}.

$$-z^{2}+3z-30=17z+30$$

Tolak 17z daripada kedua-dua belah.

$$-z^{2}+3z-30-17z=30$$

Gabungkan 3z dan -17z untuk mendapatkan -14z.

$$-z^{2}-14z-30=30$$

Tolak 30 daripada kedua-dua belah.

$$-z^{2}-14z-30-30=0$$

Tolak 30 daripada -30 untuk mendapatkan -60.

$$-z^{2}-14z-60=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -1 dengan a, -14 dengan b dan -60 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-60\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kuasa dua -14.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\left(-1\right)\left(-60\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan -4 kali -1.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+4\left(-60\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 4 kali -60.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-240}}{2\left(-1\right)}$$

Tambahkan 196 pada -240.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{-44}}{2\left(-1\right)}$$

Ambil punca kuasa dua -44.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{11}i}{2\left(-1\right)}$$

Nombor bertentangan -14 ialah 14.

$$z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 2 kali -1.

$$z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{-2}$$

Sekarang selesaikan persamaan z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{-2} apabila ± ialah plus. Tambahkan 14 pada 2i\sqrt{11}.

$$z=\frac{14+2\sqrt{11}i}{-2}$$

Bahagikan 14+2i\sqrt{11} dengan -2.

$$z=-\sqrt{11}i-7$$

Sekarang selesaikan persamaan z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{-2} apabila ± ialah minus. Tolak 2i\sqrt{11} daripada 14.

$$z=\frac{-2\sqrt{11}i+14}{-2}$$

Bahagikan 14-2i\sqrt{11} dengan -2.

$$z=-7+\sqrt{11}i$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$z=-\sqrt{11}i-7 z=-7+\sqrt{11}i$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2z+5 dengan z+6 dan gabungkan sebutan yang serupa.

$$z^{2}+3z-30=2z^{2}+17z+30$$

Tolak 2z^{2} daripada kedua-dua belah.

$$z^{2}+3z-30-2z^{2}=17z+30$$

Gabungkan z^{2} dan -2z^{2} untuk mendapatkan -z^{2}.

$$-z^{2}+3z-30=17z+30$$

Tolak 17z daripada kedua-dua belah.

$$-z^{2}+3z-30-17z=30$$

Gabungkan 3z dan -17z untuk mendapatkan -14z.

$$-z^{2}-14z-30=30$$

Tambahkan 30 pada kedua-dua belah.

$$-z^{2}-14z=30+30$$

Tambahkan 30 dan 30 untuk dapatkan 60.

$$-z^{2}-14z=60$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$\frac{-z^{2}-14z}{-1}=\frac{60}{-1}$$

Membahagi dengan -1 membuat asal pendaraban dengan -1.

$$z^{2}+\left(-\frac{14}{-1}\right)z=\frac{60}{-1}$$

Bahagikan -14 dengan -1.

$$z^{2}+14z=\frac{60}{-1}$$

Bahagikan 60 dengan -1.

$$z^{2}+14z=-60$$

Bahagikan 14 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan 7. Kemudian tambahkan kuasa dua 7 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$z^{2}+14z+7^{2}=-60+7^{2}$$

Kuasa dua 7.

$$z^{2}+14z+49=-60+49$$

Tambahkan -60 pada 49.

$$z^{2}+14z+49=-11$$

Faktor z^{2}+14z+49. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+7\right)^{2}=-11$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(z+7\right)^{2}}=\sqrt{-11}$$

Permudahkan.

$$z+7=\sqrt{11}i z+7=-\sqrt{11}i$$

Tolak 7 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$z=-7+\sqrt{11}i z=-\sqrt{11}i-7$$