Selesaikan z^2+3z-10=0

$$z ^ { 2 } + 3 z - 10 = 0$$

Selesaikan untuk z

$$z=-5$$

$$z=2$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan z^{2}+3z-10 menggunakan formula z^{2}+\left(a+b\right)z+ab=\left(z+a\right)\left(z+b\right). Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=3 ab=-10$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -10.

$$-1,10 -2,5$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 3.

$$a=-2 b=5$$

Tulis semula ungkapan \left(z+a\right)\left(z+b\right) yang difaktorkan dengan menggunakan nilai yang diperolehi.

$$\left(z-2\right)\left(z+5\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan z-2=0 dan z+5=0.

$$z=2 z=-5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai z^{2}+az+bz-10. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=3 ab=1\left(-10\right)=-10$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -10.

$$-1,10 -2,5$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 3.

$$a=-2 b=5$$

Tulis semula z^{2}+3z-10 sebagai \left(z^{2}-2z\right)+\left(5z-10\right).

$$\left(z^{2}-2z\right)+\left(5z-10\right)$$

Faktorkan z dalam kumpulan pertama dan 5 dalam kumpulan kedua.

$$z\left(z-2\right)+5\left(z-2\right)$$

Faktorkan sebutan lazim z-2 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(z-2\right)\left(z+5\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan z-2=0 dan z+5=0.

$$z=2 z=-5$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$z^{2}+3z-10=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, 3 dengan b dan -10 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-10\right)}}{2}$$

Kuasa dua 3.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-10\right)}}{2}$$

Darabkan -4 kali -10.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9+40}}{2}$$

Tambahkan 9 pada 40.

$$z=\frac{-3±\sqrt{49}}{2}$$

Ambil punca kuasa dua 49.

$$z=\frac{-3±7}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan z=\frac{-3±7}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan -3 pada 7.

$$z=\frac{4}{2}$$

Bahagikan 4 dengan 2.

$$z=2$$

Sekarang selesaikan persamaan z=\frac{-3±7}{2} apabila ± ialah minus. Tolak 7 daripada -3.

$$z=-\frac{10}{2}$$

Bahagikan -10 dengan 2.

$$z=-5$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$z=2 z=-5$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$z^{2}+3z-10=0$$

Tambahkan 10 pada kedua-dua belah persamaan.

$$z^{2}+3z-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Menolak -10 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$z^{2}+3z=-\left(-10\right)$$

Tolak -10 daripada 0.

$$z^{2}+3z=10$$

Bahagikan 3 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{3}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{3}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$z^{2}+3z+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{3}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Tambahkan 10 pada \frac{9}{4}.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktor z^{2}+3z+\frac{9}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Permudahkan.

$$z+\frac{3}{2}=\frac{7}{2} z+\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Tolak \frac{3}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$z=2 z=-5$$