Selesaikan y-3x=2text{and}7x-2y=8

$$y - 3 x = 2 \text { and } 7 x - 2 y = 8$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=12$$

$$y=38$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-3x=2$$

Tambahkan 3x pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=3x+2$$

Gantikan 3x+2 dengan y dalam persamaan lain, -2y+7x=8.

$$-2\left(3x+2\right)+7x=8$$

Darabkan -2 kali 3x+2.

$$-6x-4+7x=8$$

Tambahkan -6x pada 7x.

$$x-4=8$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=12$$

Gantikan 12 dengan x dalam y=3x+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=3\times 12+2$$

Darabkan 3 kali 12.

$$y=36+2$$

Tambahkan 2 pada 36.

$$y=38$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=38,x=12$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 2+3\times 8\\2\times 2+8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\12\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=38,x=12$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Untuk menjadikan y dan -2y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-2y-2\left(-3\right)x=-2\times 2,-2y+7x=8$$

Permudahkan.

$$-2y+6x=-4,-2y+7x=8$$

Tolak -2y+7x=8 daripada -2y+6x=-4 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-2y+2y+6x-7x=-4-8$$

Tambahkan -2y pada 2y. Seubtan -2y dan 2y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$6x-7x=-4-8$$

Tambahkan 6x pada -7x.

$$-x=-4-8$$

Tambahkan -4 pada -8.

$$-x=-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=12$$

Gantikan 12 dengan x dalam -2y+7x=8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$-2y+7\times 12=8$$

Darabkan 7 kali 12.

$$-2y+84=8$$

Tolak 84 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2y=-76$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=38$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=38,x=12$$