Selesaikan y^2-5y-24=0

$$y ^ { 2 } - 5 y - 24 = 0$$

Selesaikan untuk y

$$y=-3$$

$$y=8$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan y^{2}-5y-24 menggunakan formula y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-5 ab=-24$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -5.

$$a=-8 b=3$$

Tulis semula ungkapan \left(y+a\right)\left(y+b\right) yang difaktorkan dengan menggunakan nilai yang diperolehi.

$$\left(y-8\right)\left(y+3\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan y-8=0 dan y+3=0.

$$y=8 y=-3$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai y^{2}+ay+by-24. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-5 ab=1\left(-24\right)=-24$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -5.

$$a=-8 b=3$$

Tulis semula y^{2}-5y-24 sebagai \left(y^{2}-8y\right)+\left(3y-24\right).

$$\left(y^{2}-8y\right)+\left(3y-24\right)$$

Faktorkan y dalam kumpulan pertama dan 3 dalam kumpulan kedua.

$$y\left(y-8\right)+3\left(y-8\right)$$

Faktorkan sebutan lazim y-8 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(y-8\right)\left(y+3\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan y-8=0 dan y+3=0.

$$y=8 y=-3$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$y^{2}-5y-24=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, -5 dengan b dan -24 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-24\right)}}{2}$$

Kuasa dua -5.

$$y=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-24\right)}}{2}$$

Darabkan -4 kali -24.

$$y=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+96}}{2}$$

Tambahkan 25 pada 96.

$$y=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{121}}{2}$$

Ambil punca kuasa dua 121.

$$y=\frac{-\left(-5\right)±11}{2}$$

Nombor bertentangan -5 ialah 5.

$$y=\frac{5±11}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{5±11}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan 5 pada 11.

$$y=\frac{16}{2}$$

Bahagikan 16 dengan 2.

$$y=8$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{5±11}{2} apabila ± ialah minus. Tolak 11 daripada 5.

$$y=-\frac{6}{2}$$

Bahagikan -6 dengan 2.

$$y=-3$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$y=8 y=-3$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-5y-24=0$$

Tambahkan 24 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y^{2}-5y-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Menolak -24 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$y^{2}-5y=-\left(-24\right)$$

Tolak -24 daripada 0.

$$y^{2}-5y=24$$

Bahagikan -5 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{5}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{5}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$y^{2}-5y+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=24+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{5}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$y^{2}-5y+\frac{25}{4}=24+\frac{25}{4}$$

Tambahkan 24 pada \frac{25}{4}.

$$y^{2}-5y+\frac{25}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktor y^{2}-5y+\frac{25}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(y-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Permudahkan.

$$y-\frac{5}{2}=\frac{11}{2} y-\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

Tambahkan \frac{5}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=8 y=-3$$