Selesaikan y=2x+1text{and}x+y=7

$$y = 2 x + 1 \text { and } x + y = 7$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=2$$

$$y=5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=1$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-2x=1$$

Tambahkan 2x pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=2x+1$$

Gantikan 2x+1 dengan y dalam persamaan lain, y+x=7.

$$2x+1+x=7$$

Tambahkan 2x pada x.

$$3x+1=7$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=2$$

Gantikan 2 dengan x dalam y=2x+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=2\times 2+1$$

Darabkan 2 kali 2.

$$y=4+1$$

Tambahkan 1 pada 4.

$$y=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=5,x=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=1$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 7\\-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=5,x=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=1$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Tolak y+x=7 daripada y-2x=1 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y-2x-x=1-7$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-2x-x=1-7$$

Tambahkan -2x pada -x.

$$-3x=1-7$$

Tambahkan 1 pada -7.

$$-3x=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=2$$

Gantikan 2 dengan x dalam y+x=7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y+2=7$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=5,x=2$$