Selesaikan y=1/3x;quady=60-3x

$$y = \frac { 1 } { 3 } x ; \quad y = 60 - 3 x$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=18$$

$$y=6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak \frac{1}{3}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 3x pada kedua-dua belah.

$$y+3x=60$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Tambahkan \frac{x}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=\frac{1}{3}x$$

Gantikan \frac{x}{3} dengan y dalam persamaan lain, y+3x=60.

$$\frac{1}{3}x+3x=60$$

Tambahkan \frac{x}{3} pada 3x.

$$\frac{10}{3}x=60$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{10}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=18$$

Gantikan 18 dengan x dalam y=\frac{1}{3}x. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=\frac{1}{3}\times 18$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 18.

$$y=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=6,x=18$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak \frac{1}{3}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 3x pada kedua-dua belah.

$$y+3x=60$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 60\\\frac{3}{10}\times 60\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=6,x=18$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak \frac{1}{3}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 3x pada kedua-dua belah.

$$y+3x=60$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Tolak y+3x=60 daripada y-\frac{1}{3}x=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Tambahkan -\frac{x}{3} pada -3x.

$$-\frac{10}{3}x=-60$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{10}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=18$$

Gantikan 18 dengan x dalam y+3x=60. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y+3\times 18=60$$

Darabkan 3 kali 18.

$$y+54=60$$

Tolak 54 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=6,x=18$$