Selesaikan x^4-3x^3-x^2-3x+18=0

$$x ^ { 4 } - 3 x ^ { 3 } - x ^ { 2 } - 3 x + 18 = 0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=2$$

$$x=3$$

$$x=-\sqrt{2}i-1\approx -1-1.414213562i$$

$$x=-1+\sqrt{2}i\approx -1+1.414213562i$$

Langkah Penyelesaian

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar 18 dan q membahagikan pekali pelopor 1. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±18,±9,±6,±3,±2,±1$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$x=2$$

Dengan teorem Faktor, x-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan x^{4}-3x^{3}-x^{2}-3x+18 dengan x-2 untuk mendapatkan x^{3}-x^{2}-3x-9. Selesaikan persamaan di mana hasil bersamaan dengan 0.

$$x^{3}-x^{2}-3x-9=0$$

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar -9 dan q membahagikan pekali pelopor 1. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$x=3$$

Dengan teorem Faktor, x-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan x^{3}-x^{2}-3x-9 dengan x-3 untuk mendapatkan x^{2}+2x+3. Selesaikan persamaan di mana hasil bersamaan dengan 0.

$$x^{2}+2x+3=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 1 untuk a, 2 untuk b dan 3 untuk c dalam formula kuadratik.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Lakukan pengiraan.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2}$$

Selesaikan persamaan x^{2}+2x+3=0 apabila ± adalah tambah dan apabila ± adalah tolak.

$$x=-\sqrt{2}i-1 x=-1+\sqrt{2}i$$

Senaraikan semua penyelesaian yang ditemui.

$$x=2 x=3 x=-\sqrt{2}i-1 x=-1+\sqrt{2}i$$

Selesaikan untuk x

$$x=2$$

$$x=3$$

Langkah Penyelesaian

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar 18 dan q membahagikan pekali pelopor 1. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±18,±9,±6,±3,±2,±1$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$x=2$$

Dengan teorem Faktor, x-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan x^{4}-3x^{3}-x^{2}-3x+18 dengan x-2 untuk mendapatkan x^{3}-x^{2}-3x-9. Selesaikan persamaan di mana hasil bersamaan dengan 0.

$$x^{3}-x^{2}-3x-9=0$$

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar -9 dan q membahagikan pekali pelopor 1. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$x=3$$

Dengan teorem Faktor, x-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan x^{3}-x^{2}-3x-9 dengan x-3 untuk mendapatkan x^{2}+2x+3. Selesaikan persamaan di mana hasil bersamaan dengan 0.

$$x^{2}+2x+3=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 1 untuk a, 2 untuk b dan 3 untuk c dalam formula kuadratik.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Lakukan pengiraan.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2}$$

Oleh kerana punca kuasa dua nombor negatif tidak ditakrifkan dalam medan sebenar, tiada penyelesaian.

$$x\in \emptyset$$

Senaraikan semua penyelesaian yang ditemui.

$$x=2 x=3$$