Selesaikan x^4=(2x-3)^2

$$x ^ { 4 } = ( 2 x - 3 ) ^ { 2 }$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=-3$$

$$x=1$$

$$x=-\sqrt{2}i+1\approx 1-1.414213562i$$

$$x=1+\sqrt{2}i\approx 1+1.414213562i$$

Langkah Penyelesaian

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(2x-3\right)^{2}.

$$x^{4}=4x^{2}-12x+9$$

Tolak 4x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$x^{4}-4x^{2}=-12x+9$$

Tambahkan 12x pada kedua-dua belah.

$$x^{4}-4x^{2}+12x=9$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah.

$$x^{4}-4x^{2}+12x-9=0$$

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar -9 dan q membahagikan pekali pelopor 1. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$x=1$$

Dengan teorem Faktor, x-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan x^{4}-4x^{2}+12x-9 dengan x-1 untuk mendapatkan x^{3}+x^{2}-3x+9. Selesaikan persamaan di mana hasil bersamaan dengan 0.

$$x^{3}+x^{2}-3x+9=0$$

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar 9 dan q membahagikan pekali pelopor 1. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$x=-3$$

Dengan teorem Faktor, x-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan x^{3}+x^{2}-3x+9 dengan x+3 untuk mendapatkan x^{2}-2x+3. Selesaikan persamaan di mana hasil bersamaan dengan 0.

$$x^{2}-2x+3=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 1 untuk a, -2 untuk b dan 3 untuk c dalam formula kuadratik.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Lakukan pengiraan.

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{2}$$

Selesaikan persamaan x^{2}-2x+3=0 apabila ± adalah tambah dan apabila ± adalah tolak.

$$x=-\sqrt{2}i+1 x=1+\sqrt{2}i$$

Senaraikan semua penyelesaian yang ditemui.

$$x=1 x=-3 x=-\sqrt{2}i+1 x=1+\sqrt{2}i$$

Selesaikan untuk x

$$x=-3$$

$$x=1$$

Langkah Penyelesaian

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(2x-3\right)^{2}.

$$x^{4}=4x^{2}-12x+9$$

Tolak 4x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$x^{4}-4x^{2}=-12x+9$$

Tambahkan 12x pada kedua-dua belah.

$$x^{4}-4x^{2}+12x=9$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah.

$$x^{4}-4x^{2}+12x-9=0$$

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar -9 dan q membahagikan pekali pelopor 1. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$x=1$$

Dengan teorem Faktor, x-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan x^{4}-4x^{2}+12x-9 dengan x-1 untuk mendapatkan x^{3}+x^{2}-3x+9. Selesaikan persamaan di mana hasil bersamaan dengan 0.

$$x^{3}+x^{2}-3x+9=0$$

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar 9 dan q membahagikan pekali pelopor 1. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$x=-3$$

Dengan teorem Faktor, x-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan x^{3}+x^{2}-3x+9 dengan x+3 untuk mendapatkan x^{2}-2x+3. Selesaikan persamaan di mana hasil bersamaan dengan 0.

$$x^{2}-2x+3=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 1 untuk a, -2 untuk b dan 3 untuk c dalam formula kuadratik.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Lakukan pengiraan.

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{2}$$

Oleh kerana punca kuasa dua nombor negatif tidak ditakrifkan dalam medan sebenar, tiada penyelesaian.

$$x\in \emptyset$$

Senaraikan semua penyelesaian yang ditemui.

$$x=1 x=-3$$