Selesaikan x^2-x-16<0

$$x ^ { 2 } - x - 16 < 0$$

Selesaikan untuk x

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{65}}{2},\frac{\sqrt{65}+1}{2}\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Untuk menyelesaikan ketidaksamaan tersebut, faktorkan yang di sebelah kiri. Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-x-16=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 1 untuk a, -1 untuk b dan -16 untuk c dalam formula kuadratik.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-16\right)}}{2}$$

Lakukan pengiraan.

$$x=\frac{1±\sqrt{65}}{2}$$

Selesaikan persamaan x=\frac{1±\sqrt{65}}{2} apabila ± adalah tambah dan apabila ± adalah tolak.

$$x=\frac{\sqrt{65}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{65}}{2}$$

Tulis semula ketidaksamaan tersebut dengan menggunakan penyelesaian diperolehi.

$$\left(x-\frac{\sqrt{65}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{65}}{2}\right)<0$$

Untuk hasil itu menjadi negatif, x-\frac{\sqrt{65}+1}{2} dan x-\frac{1-\sqrt{65}}{2} perlulah mempunyai tanda yang bertentangan. Pertimbangkan kes apabila x-\frac{\sqrt{65}+1}{2} adalah positif dan x-\frac{1-\sqrt{65}}{2} adalah negatif.

$$x-\frac{\sqrt{65}+1}{2}>0 x-\frac{1-\sqrt{65}}{2}<0$$

Ini adalah palsu untuk sebarang x.

$$x\in \emptyset$$

Pertimbangkan kes apabila x-\frac{1-\sqrt{65}}{2} adalah positif dan x-\frac{\sqrt{65}+1}{2} adalah negatif.

$$x-\frac{1-\sqrt{65}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{65}+1}{2}<0$$

Penyelesaian yang memuaskan kedua-dua ketidaksamaan adalah x\in \left(\frac{1-\sqrt{65}}{2},\frac{\sqrt{65}+1}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{65}}{2},\frac{\sqrt{65}+1}{2}\right)$$

Penyelesaian terakhir adalah kesatuan penyelesaian yang diperolehi.

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{65}}{2},\frac{\sqrt{65}+1}{2}\right)$$